共形映射

在解析变换中，研究复变函数的映射性质的重要主题是共形映射。如果一个复变函数$f(z)$在区域$D$内是一个单射且保角的变换，我们就称$f(z)$是区域$D$内的共形映射。

Riemann 存在唯一性定理

存在性

对于任意扩充复平面中边界不为一点的单连通区域$D$，总存在一个单值解析函数$w = f(z)$，将该区域$D$共形映射成一个单位圆盘$|w| < 1.$

根据这个定理，对任意符合定理条件的区域$D$，要把它变成另一个区域$G$，我们可以先将它施加单值解析变换$f(z)$变成单位圆，得到另外一个将区域$G$变成单位圆所施加的单值解析变换$g(z)$，这样再由单值解析变换的可逆性，得到$g^{-1}(z)$将单位圆变为区域$G$，于是$g^{-1}(f(z))$即为所要求的单值解析变换。

定理的条件要求单连通区域$D$的边界不为一点，这是必须的，例如边界为一点的单连通区域即扩充复平面，没有任何一个单值解析变换，将该区域映作单位圆。

唯一性

假设同上，在附加约束条件$f(z_0) = 0, f'(z_0) > 0, z_0 \in D$下的单值解析函数$f(z)$是唯一的。唯一性条件的几何意义是，将区域$D$中的某一点$z_0$映作单位圆的圆心，而旋转角$\arg f'(z_0) = 0.$

唯一性条件还可作如下修改：

1. 若直接将区域$D$共形映射成$G$，那么唯一性条件可改为$f(z_0) = w_0, \arg f'(z_0) = \alpha \in \R, z_0 \in D, w_0 \in G.$
2. 若区域$D$和$G$的边界是周线，那么唯一性条件可改为$f(z_0) = w_0, f(z_1) = w_1, z_0 \in D, w_0 \in G, z_1 \in \partial D, w_1 \in \partial G.$
3. 区域$D$和$G$指定的边界三点$z_i \in \partial D, w_i \in \partial G, i = 1,2,3$，它们的绕行方向和区域的正向一致，唯一性条件可改为$f(z_i) = w_i, i = 1,2,3.$

边界对应定理

（正定理）设一复变函数$f(z)$将有界单连通区域$D$共形映射成有界单连通区域$G$，那么该函数$f(z)$可以延拓到闭包$\overline{D} = D + \partial D$上去，且在$\overline{D}$上$f(z)$是连续函数，并且它将边界$\partial D$连续地单值映射为$\partial G.$

（逆定理）设复变函数$f(z)$在有界单连通区域$D$内解析，边界连续，且它将边界$\partial D$单值映射为闭曲线$L$，$L$的内部$G$是单连通的，那么$f(z)$在$D$内单值解析，且$f(z)$将$D$共形映射成$G$。

边界对应定理的逆定理常用来证明解析函数的单值性。

上下节

• 上一节：分式线性变换
• 下一节：解析开拓

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.