全臍點曲面

三維空間中的全臍點曲面是一類特殊的曲面，該曲面上處處為臍點，其中每一點沿各個方向的彎曲程度相同。

臍點

假設有一曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$，其上一點$P$處的主曲率分別為$k_1, k_2$，如果$k_1 = k_2$，我們就稱$P$是曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$的臍點。

假設$E, F, G$和$L,M,N$是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式的係數，那麼$P$是臍點當且僅當 $$k := \dfrac{L}{E} = \dfrac{M}{F} = \dfrac{N}{G}.$$ 當$k=0$該點就是平點，當$k \ne 0$該點稱為圓點。

全臍點曲面

如果曲面上每一點都是臍點，我們就稱這樣的曲面是全臍點曲面，全臍點曲面的每一點沿各個方向的法曲率相同，注意這不代表各個點的法曲率相同。

由臍點的定義，一個曲面是全臍點曲面當且僅當存在關於曲面上點的函數$k(u, v)$使得第二基本形式是第一基本形式的$k(u, v)$倍。

分類

三維空間中的全臍點曲面只有兩類：平面和球面。前者的$k=0$，後者若半徑為$r$，那麼$|k| = \dfrac{1}{r}.$

證明：由臍點的定義，假設$k_1 = k_2 = k$是$\boldsymbol{r}(u, v)$上某一點的主曲率，$\mathcal{W}$是該曲面的 Weingarten 變換，那麼 $${\begin{aligned}k{\boldsymbol {r}}_{u}={\mathcal {W}}({\boldsymbol {r}}_{u})=-{\boldsymbol {n}}_{u},\\k{\boldsymbol {r}}_{v}={\mathcal {W}}({\boldsymbol {r}}_{v})=-{\boldsymbol {n}}_{v}.\end{aligned}}$$ 上面兩個式子分別對$u, v$求偏導得到 $$-{\boldsymbol {n}}_{uv}=k_{v}{\boldsymbol {r}}_{u}+k{\boldsymbol {r}}_{uv}=k_{u}{\boldsymbol {r}}_{v}+k{\boldsymbol {r}}_{vu}.$$ 於是 $$k_{v}{\boldsymbol {r}}_{u}=k_{u}{\boldsymbol {r}}_{v}.$$ 於是當$k=0$的時候$S$的第二基本形式是零，法向量是常向量，進而在局部上是平面；當$k \ne 0$，${\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {n}}+k{\boldsymbol {r}}$是常向量，於是 $$\left|{\boldsymbol {r}}+{\dfrac {\boldsymbol {a}}{k}}\right|={\dfrac {1}{k^{2}}}.$$ 即$S$局部上是半徑為${\dfrac {1}{|k|}}$的球面的一部分。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.