全脐点曲面

三维空间中的全脐点曲面是一类特殊的曲面，该曲面上处处为脐点，其中每一点沿各个方向的弯曲程度相同。

脐点

假设有一曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$，其上一点$P$处的主曲率分别为$k_1, k_2$，如果$k_1 = k_2$，我们就称$P$是曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$的脐点。

假设$E, F, G$和$L,M,N$是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式的系数，那么$P$是脐点当且仅当

$$k := \dfrac{L}{E} = \dfrac{M}{F} = \dfrac{N}{G}.$$

当$k=0$该点就是平点，当$k \ne 0$该点称为圆点。

全脐点曲面

如果曲面上每一点都是脐点，我们就称这样的曲面是全脐点曲面，全脐点曲面的每一点沿各个方向的法曲率相同，注意这不代表各个点的法曲率相同。

由脐点的定义，一个曲面是全脐点曲面当且仅当存在关于曲面上点的函数$k(u, v)$使得第二基本形式是第一基本形式的$k(u, v)$倍。

分类

三维空间中的全脐点曲面只有两类：平面和球面。前者的$k=0$，后者若半径为$r$，那么$|k| = \dfrac{1}{r}.$

证明：由脐点的定义，假设$k_1 = k_2 = k$是$\boldsymbol{r}(u, v)$上某一点的主曲率，$\mathcal{W}$是该曲面的 Weingarten 变换，那么

$${\begin{aligned}k{\boldsymbol {r}}_{u}={\mathcal {W}}({\boldsymbol {r}}_{u})=-{\boldsymbol {n}}_{u},\\k{\boldsymbol {r}}_{v}={\mathcal {W}}({\boldsymbol {r}}_{v})=-{\boldsymbol {n}}_{v}.\end{aligned}}$$

上面两个式子分别对$u, v$求偏导得到

$$-{\boldsymbol {n}}_{uv}=k_{v}{\boldsymbol {r}}_{u}+k{\boldsymbol {r}}_{uv}=k_{u}{\boldsymbol {r}}_{v}+k{\boldsymbol {r}}_{vu}.$$

于是

$$k_{v}{\boldsymbol {r}}_{u}=k_{u}{\boldsymbol {r}}_{v}.$$

于是当$k=0$的时候$S$的第二基本形式是零，法向量是常向量，进而在局部上是平面；当$k \ne 0$，${\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {n}}+k{\boldsymbol {r}}$是常向量，于是

$$\left|{\boldsymbol {r}}+{\dfrac {\boldsymbol {a}}{k}}\right|={\dfrac {1}{k^{2}}}.$$

即$S$局部上是半径为${\dfrac {1}{|k|}}$的球面的一部分。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.