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在多元微分学中,全微分是一元实函数中微分概念的推广,它表征的是有限维空间上的一个实值函数对各个变元的线性近似,在 Banach 空间的微分学中,全微分对应的数学概念是 Frechet 导数

全微分[]

以二元函数为例,设函数的全改变量可以表示为

其中是和无关的常数,我们就说函数在点处可微。

如果上述条件成立,那么很容易证明

时,,因此我们称为函数在这一点的全微分,记作

对于多元函数的情形,有

偏导数的关系[]

如果一个多元函数在某一点可微,那它必定在这一点处连续,但是并不一定在这一点处可导,这是和一元实函数不同的地方。一般地,有如下定理成立:

如果一个函数在点的某一邻域内所有一阶偏导数存在,且在该点处它们都连续,那么处可微。

由此可知,多元函数的可微与可导并不等价。

高阶全微分[]

可以像高阶偏导数那样定义高阶全微分。以二元函数为例,二阶全微分定义为

最后一个等号假设,即时,有

形式不变性[]

多元函数一阶全微分也像一元实函数那样有着形式不变性,高阶全微分不具有形式不变性。

在某些情况下(例如方程组),使用一阶微分的形式不变性求偏导数是便利的。

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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