在多元微分学中,全微分是一元实函数中微分概念的推广,它表征的是有限维空间上的一个实值函数对各个变元的线性近似,在 Banach 空间的微分学中,全微分对应的数学概念是 Frechet 导数。
全微分[]
以二元函数为例,设函数
的全改变量可以表示为

其中

是和

无关的常数,我们就说函数

在点

处可微。
如果上述条件成立,那么很容易证明
当
时,
,因此我们称
为函数在这一点的全微分,记作

对于多元函数

的情形,有

如果一个多元函数在某一点可微,那它必定在这一点处连续,但是并不一定在这一点处可导,这是和一元实函数不同的地方。一般地,有如下定理成立:
如果一个函数
在点
的某一邻域内所有一阶偏导数存在,且在该点处它们都连续,那么
在
处可微。
由此可知,多元函数的可微与可导并不等价。
高阶全微分[]
可以像高阶偏导数那样定义高阶全微分。以二元函数为例,二阶全微分定义为
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} ^{2}u&=\mathrm {d} (\mathrm {d} u)\\&=\mathrm {d} [f_{x}(x,y)\mathrm {d} x]+\mathrm {d} [f_{y}(x,y)\mathrm {d} y]\\&=f_{xx}\mathrm {d} x^{2}+2f_{xy}\mathrm {d} x\mathrm {d} y+f_{yy}\mathrm {d} y^{2}.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/440c854618bdd6b48df6fefe19e3428ccc3a779a)
最后一个等号假设

,即

当

时,有

形式不变性[]
多元函数一阶全微分也像一元实函数那样有着形式不变性,高阶全微分不具有形式不变性。
设

有

在某些情况下(例如方程组),使用一阶微分的形式不变性求偏导数是便利的。
上下节[]
参考资料