内部

一个集合$S$的内部（interior），一般记作$\text{Int}(S)$或$\overset{\circ}{S}, S^\circ$，是指$S$中不在边界上的点（称为内点）所构成的集合，它始终是开集。集合的内部与闭包是一对对偶概念。拓扑的概念可以使用内部公理构建，这等价于开集公理，详见拓扑。

度量空间

对度量空间$M$中的某个集合$Y$而言，$Y$的内部可以开球来定义：若有一以$x$为中心的开球$B(x)$为$Y$的内部集合$\text{Int}(Y)$的子集，则$x$为$Y$的内部点。

拓扑空间

在拓扑空间$X$中，一个集合$A$是开集当且仅当$A = \text{Int}(A)$，即$A$为其自身的内部。

集合$A$的闭包是该集合内部和边界的并集。

拓扑空间$X$中的一个集合$A$的内部$\text{Int}(A)$等价定义还有

1. $X$中所有含于$A$的开集的并集（即：含于$A$的最大开集）。
2. $X$中所有有包含于$A$的邻域的点的集合。

性质

假设集合$A, B$是拓扑空间$X$中定义的点集，

1. 若$A \subset B$，则$\text{Int}(A) \subset \text{Int}(B).$
2. $\text{Int}(A \cap B) = \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B).$
3. $\text{Int}(A \cup B) \supset \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B).$

互补的两集合，其中一个集合的闭包和另一个集合的内部互补：

• $\text{Int}(X \setminus A) = X \setminus \overline{A}.$
• $\overline{X \setminus A} = X \setminus \text{Int}(A).$

假设$\{ A_i \}_{i \in I}$是一族$X$中的无穷集合，那么

• $\text{Int}\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) \subset \bigcap_{i \in I} \text{Int}(A).$
• $\text{Int}\left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \supset \bigcup_{i \in I} \text{Int}(A).$

相对内部

内部和开集闭集一样是相对的概念。假设$X$是拓扑空间，$A$是$X$的子空间，$B \subset A$的闭包可能在$A$中的内部$\text{Int}_A(B)$和在$X$中的内部$\text{Int}(B)$是不同的，但是儅$A$是$X$的开集时二者相同，一般情况下有

$$\text{Int}_A(B) = A \setminus(\overline{A \setminus B}).$$

闭包也具有类似的性质。