偏序集的運算

這裡主要介紹偏序集之間的二元運算，主要是算術運算（arithmetic operation），所謂偏序集，是指一個集合上裝備了一個二元關係——偏序，詳見偏序集的定義。

有了偏序關係，我們可以定義偏序集上除了集合的運算之外的一些新的運算，包括基數算術運算（cardinal arithmetic operation）和序數算術運算（ordinal arithmetic operation）。

基數算術運算

以下假設$(X, \leqslant_X), (Y, \leqslant_Y)$是偏序集。

1. 基數和（cardinal sum）$(X + Y, \leqslant)$：要求$X \cap Y = \varnothing$（這一點不成立時可以將其中一個集合用一個雙射同構到$X$的補集的子集上去）作為集合是$X \cup Y$，其上的偏序定義為$x \leqslant y \iff (x, y \in X, x \leqslant_X y) \text{ or } (x, y \in Y, x \leqslant_Y y)$，而當$x, y$分屬不同集合時不可比較偏序關係。這種運算就是將兩個偏序集放在了同一個 Hasse 圖上，但是兩個偏序集是並列的。
2. 基數積（cardinal product）$(XY, \leqslant)$：作為集合是 Cartesian 積$X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \}$，其上的偏序關係定義為$(x_1, y_1) \leqslant (x_2, y_2) \iff x_1 \leqslant_X x_2, y_1 \leqslant_Y y_2.$
3. 數量乘法：$1X := X, 2X := X + X,...$
4. 基數冪（cardinal power）$Y^X$：作為集合是收集了所有$X \to Y$的保序映射$f(x)$，即$\forall x, y \in X, x \leqslant_X y \Rightarrow f(x) \leqslant_Y f(y).$，其上的偏序關係定義為$f \leqslant g \iff \forall x \in X, f(x) \leqslant g(x).$

基數和、基數積與基數冪都依然是偏序集。

性質

在同構的意義下，基數和與基數積是可結合的，可交換的以及可分配的。

1. $(X + Y) + Z \cong X + (Y + Z).$
2. $(XY)Z \cong X(YZ).$
3. $X + Y \cong Y + X.$
4. $XY \cong YX.$
5. $(X + Y)Z \cong XZ + YZ.$
6. $X(Y + Z) \cong XY + XZ.$
7. $X^{Y+Z} \cong X^Y X^Z, (XY)^Z \cong X^Z Y^Z, (X^Y)^Z \cong X^{YZ}$
8. $X^0 = 1, X^1 = X$，這裡$0$指空集，$1$指的是一元偏序集。
9. $0^X = 0, \forall X \ne 0.$

關於序對偶集（即$(X, \leqslant)$的對偶$X\breve{} := (X, \geqslant)$，$x \geqslant y \iff y \leqslant x$），由對偶性質有

1. $(X + Y)\breve{} \cong X\breve{} + Y\breve{}.$
2. $(XY)\breve{} \cong X\breve{} Y\breve{}.$
3. $(Y^X)\breve{} \cong (Y\breve{})^{X\breve{}}.$

對於階數$n(X)$（即偏序集$X$作為集合的勢）以及序階$r[X]$（$X$中滿足$x \leqslant y$的所有偏序數對$(x,y)$的勢），有

1. $n(X+Y) = n(X) + n(Y).$
2. $n(XY) = n(X) n(Y).$
3. $n(X^Y) \leqslant n(X)^{n(Y)}.$
4. $n(X) \leqslant r[X] \leqslant (n(X))^2.$
5. $r[X+Y] = r[X] + r[Y].$
6. $r[XY] = r[X] r[Y].$

序數算術運算

以下假設$(X, \leqslant_X), (Y, \leqslant_Y)$是偏序集。

1. 序數和（ordinal sum）$(X \oplus Y, \leqslant)$：要求$X \cap Y = \varnothing$（這一點不成立時可以將其中一個集合用一個雙射同構到$X$的補集的子集上去）作為集合是$X \cup Y$，其上的偏序定義為$x \leqslant y \iff (x, y \in X, x \leqslant_X y) \text{ or } (x, y \in Y, x \leqslant_Y y) \text{ or } (x \in X, y \in Y)$。這種運算就是將兩個偏序集放在了同一個 Hasse 圖上，其中一個偏序集完全位於另一個上方。
2. 序數積（ordinal product）$(X \circ Y, \leqslant)$：作為集合是 Cartesian 積$X \times Y = \{ (x, y): x \in X, y \in Y \}$，其上的偏序關係定義為$(x_1, y_1) \leqslant (x_2, y_2) \iff x_1 \leqslant_X x_2 \text{ or } (x_1 = x_2 \And y_1 \leqslant_Y y_2).$
3. 序數冪（ordinal power）${}^X Y$：作為集合是收集了所有$X \to Y$的映射，$f \leqslant g$定義為對每個使得$g(x) \leqslant_Y f(x)$的$x \in X$，存在一個$x_1 <_X x$成立$f(x_1) <_Y g(x_1).$

序數和與序數積都依然是偏序集，但是注意序數冪不一定是偏序集。

性質

在同構的意義下，序數和與序數積是可結合的，成立次分配律，但不一定是可交換的。在有限元素情形下，序數和與序數積是可交換的。

1. $(X \oplus Y) \oplus Z \cong X \oplus (Y \oplus Z).$
2. $(X \circ Y) \circ Z \cong X \circ (Y \circ Z).$
3. $(X \oplus Y) \circ Z \cong (X \circ Z) \oplus (Y \circ Z).$
4. ${}^{Y \oplus Z} X \cong {}^Y X \circ {}^Z X.$

關於序對偶集，由對偶性質有

1. $(X \oplus Y)\breve{} \cong Y\breve{} \oplus X\breve{}.$
2. $(X \circ Y)\breve{} \cong X\breve{} \circ Y\breve{}.$
3. $({}^X Y)\breve{} \cong {}^X Y\breve{}.$

對於階數$n(X)$和序階$r[X]$，有

1. $r[X \oplus Y] = r[X] + r[Y] + n(X) n(Y).$
2. $r[X \circ Y] = (r[X] - 1) (n(Y))^2.$

一般形式

以上的運算都可以推廣到更一般的情形，即所謂「字典序和」與「字典序積」（lexicographic sum and lexicographic product）。以下我們假設$\{ Y_x \}_{x \in X}$是一族互不相交的偏序集，$X$是它的指標集且也裝備了一個偏序關係$\leqslant_X.$

1. 定義字典序和$\sum_{x \in X} Y_x$：作為集合是$\bigcup_{x \in X} Y_x$，關係$y_{x_1} \leqslant y_{x_2}$定義為：$x_1 \leqslant x_2$或$x_1 = x_2 \And y_{x_1} \leqslant y_{x_2}.$反映在 Hasse 圖上就是，將$X$的圖上的每一個節點元素$x$用對應的$Y_x$的圖替換，即：圖的圖。
2. 定義字典序積$\prod_{x \in X} Y_x$：作為集合是收集了一些映射$f(x)$的集合，這些映射$f(x)$滿足$\forall x \in X$，象$y = f(x) \in Y_x$。關係$f \leqslant g$定義為對任意滿足$g(x) < f(x)$的$x \in X$，都存在$x_1 < x$使得$g(x_1) < f(x_1).$

如果

1. $X$是兩個元素的無序集（兩個元素不可比較），那麼$$\sum_{x=1,2} Y_x = Y_1 + Y_2, \quad \prod_{x=1,2} Y_x = Y_1 Y_2.$$
2. $X$是兩個元素的有序集$\boldsymbol{2}$（例如，序關係為$1 \leqslant 2$），那麼$$\sum_{x \in \boldsymbol{2}} Y_x = Y_1 \oplus Y_2, \quad \prod_{x \in \boldsymbol{2}} Y_x = Y_1 \circ Y_2.$$
3. 所有的$Y_x$互相同構，記作$Y$，那麼$$\sum_{x \in X} Y_x = Y^X, \quad \prod_{x \in X} Y_x = {}^X Y.$$

上述都是在同構意義下相等的。