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这里主要介绍偏序集之间的二元运算,主要是算术运算(arithmetic operation),所谓偏序集,是指一个集合上装备了一个二元关系——偏序,详见偏序集的定义

有了偏序关系,我们可以定义偏序集上除了集合的运算之外的一些新的运算,包括基数算术运算(cardinal arithmetic operation)和序数算术运算(ordinal arithmetic operation)。

基数算术运算[]

以下假设是偏序集。

  1. 基数和(cardinal sum):要求(这一点不成立时可以将其中一个集合用一个双射同构到的补集的子集上去)作为集合是,其上的偏序定义为,而当分属不同集合时不可比较偏序关系。这种运算就是将两个偏序集放在了同一个 Hasse 图上,但是两个偏序集是并列的。
  2. 基数积(cardinal product):作为集合是 Cartesian 积,其上的偏序关系定义为
  3. 数量乘法:
  4. 基数幂(cardinal power):作为集合是收集了所有的保序映射,即,其上的偏序关系定义为

基数和、基数积与基数幂都依然是偏序集。

性质[]

在同构的意义下,基数和与基数积是可结合的,可交换的以及可分配的。

  1. ,这里空集指的是一元偏序集。

关于序对偶集(即的对偶),由对偶性质有

对于阶数(即偏序集作为集合的)以及序阶中满足的所有偏序数对的势),有

序数算术运算[]

以下假设是偏序集。

  1. 序数和(ordinal sum):要求(这一点不成立时可以将其中一个集合用一个双射同构到的补集的子集上去)作为集合是,其上的偏序定义为。这种运算就是将两个偏序集放在了同一个 Hasse 图上,其中一个偏序集完全位于另一个上方。
  2. 序数积(ordinal product):作为集合是 Cartesian 积,其上的偏序关系定义为
  3. 序数幂(ordinal power):作为集合是收集了所有映射定义为对每个使得,存在一个成立

序数和与序数积都依然是偏序集,但是注意序数幂不一定是偏序集。

性质[]

在同构的意义下,序数和与序数积是可结合的,成立次分配律,但不一定是可交换的。在有限元素情形下,序数和与序数积是可交换的。

关于序对偶集,由对偶性质有

对于阶数和序阶,有

一般形式[]

以上的运算都可以推广到更一般的情形,即所谓“字典序和”与“字典序积”(lexicographic sum and lexicographic product)。以下我们假设是一族互不相交的偏序集,是它的指标集且也装备了一个偏序关系

  1. 定义字典序和:作为集合是,关系定义为:反映在 Hasse 图上就是,将的图上的每一个节点元素用对应的的图替换,即:图的图。
  2. 定义字典序积:作为集合是收集了一些映射的集合,这些映射满足,象。关系定义为对任意满足,都存在使得

如果

  1. 是两个元素的无序集(两个元素不可比较),那么
  2. 是两个元素的有序集(例如,序关系为),那么
  3. 所有的互相同构,记作,那么

上述都是在同构意义下相等的。

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