这里主要介绍偏序集之间的二元运算,主要是算术运算(arithmetic operation),所谓偏序集,是指一个集合上装备了一个二元关系——偏序,详见偏序集的定义。
有了偏序关系,我们可以定义偏序集上除了集合的运算之外的一些新的运算,包括基数算术运算(cardinal arithmetic operation)和序数算术运算(ordinal arithmetic operation)。
基数算术运算[]
以下假设
是偏序集。
- 基数和(cardinal sum)
:要求
(这一点不成立时可以将其中一个集合用一个双射同构到
的补集的子集上去)作为集合是
,其上的偏序定义为
,而当
分属不同集合时不可比较偏序关系。这种运算就是将两个偏序集放在了同一个 Hasse 图上,但是两个偏序集是并列的。
- 基数积(cardinal product)
:作为集合是 Cartesian 积
,其上的偏序关系定义为
- 数量乘法:

- 基数幂(cardinal power)
:作为集合是收集了所有
的保序映射
,即
,其上的偏序关系定义为
基数和、基数积与基数幂都依然是偏序集。
性质[]
在同构的意义下,基数和与基数积是可结合的,可交换的以及可分配的。







,这里
指空集,
指的是一元偏序集。

关于序对偶集(即
的对偶
,
),由对偶性质有



对于阶数
(即偏序集
作为集合的势)以及序阶
(
中满足
的所有偏序数对
的势),有



![{\displaystyle n(X)\leqslant r[X]\leqslant (n(X))^{2}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/61268f5d979f2bb453f9b2a57ba5c38e4a4f792a)
![{\displaystyle r[X+Y]=r[X]+r[Y].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/1c04f9e6ef2708078c785493b82c97c68e0a3dde)
![{\displaystyle r[XY]=r[X]r[Y].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/b133870599ae05c91bd043b063f9129711ff2c03)
序数算术运算[]
以下假设
是偏序集。
- 序数和(ordinal sum)
:要求
(这一点不成立时可以将其中一个集合用一个双射同构到
的补集的子集上去)作为集合是
,其上的偏序定义为
。这种运算就是将两个偏序集放在了同一个 Hasse 图上,其中一个偏序集完全位于另一个上方。
- 序数积(ordinal product)
:作为集合是 Cartesian 积
,其上的偏序关系定义为
- 序数幂(ordinal power)
:作为集合是收集了所有
的映射,
定义为对每个使得
的
,存在一个
成立
序数和与序数积都依然是偏序集,但是注意序数幂不一定是偏序集。
性质[]
在同构的意义下,序数和与序数积是可结合的,成立次分配律,但不一定是可交换的。在有限元素情形下,序数和与序数积是可交换的。




关于序对偶集,由对偶性质有



对于阶数
和序阶
,有
![{\displaystyle r[X\oplus Y]=r[X]+r[Y]+n(X)n(Y).}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/665c6b3d317e2cacfa497c7cb043f65967e1b6f9)
![{\displaystyle r[X\circ Y]=(r[X]-1)(n(Y))^{2}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/2b1a95b6081348ceb6a271f02cbb8da8e5d99514)
一般形式[]
以上的运算都可以推广到更一般的情形,即所谓“字典序和”与“字典序积”(lexicographic sum and lexicographic product)。以下我们假设
是一族互不相交的偏序集,
是它的指标集且也装备了一个偏序关系
- 定义字典序和
:作为集合是
,关系
定义为:
或
反映在 Hasse 图上就是,将
的图上的每一个节点元素
用对应的
的图替换,即:图的图。
- 定义字典序积
:作为集合是收集了一些映射
的集合,这些映射
满足
,象
。关系
定义为对任意满足
的
,都存在
使得
如果
是两个元素的无序集(两个元素不可比较),那么
是两个元素的有序集
(例如,序关系为
),那么
- 所有的
互相同构,记作
,那么
上述都是在同构意义下相等的。