偏导数

在多元微分学中，偏导数是类比一元实函数导数的概念而引入的，是讨论多元函数的变化率的工具。

定义

对于函数$u = f(x_1, x_2, \cdots, x_d)$，如果固定$x_2, x_3, \cdots, x_d$，仅给$x_1$一个增量$\Delta x_1$，那么函数值相应改变了

$$\Delta u = f(x_1 + \Delta x_1, x_2, \cdots, x_d) - f(x_1, x_2, \cdots, x_d)$$

如果极限

$$\dfrac{\Delta u}{\Delta x_1} = \dfrac{f(x_1 + \Delta x_1, x_2, \cdots, x_d) - f(x_1, x_2, \cdots, x_d)}{\Delta x_1}$$

存在且为有限数，我们就称在这一点处函数$u = f(x_1, x_2, \cdots, x_d)$对$x_1$的偏导数存在，记作$\dfrac{\partial u}{\partial x_1}$或$\dfrac{\partial f}{\partial x_1}$，有时也简记为$f_1$、$f'_1$（表示对第一个变元求偏导）或$u_{x_1}$、$f_{x_1}$。$\dfrac{\partial}{\partial x}$也叫做偏导算子。

由偏导数的定义可知，求某个多元函数的偏导数时，仅需固定除了求偏导的变元外的变元，再对要求偏导的变元求导数即可。

偏导数的几何意义

在函数图像上，一元实函数的导数代表着切线斜率。在多元实函数的情形下，偏导数也有类似的几何意义，以二元函数为例，$z = f(x, y)$是三维空间中的一张曲面，设$M_0(x_0, y_0, z_0)$在曲面上，那么曲面$z = f(x, y)$和平面$y=y_0$形成的交线方程是$z = f(x, y_0)$，它是一个一元实函数，且在$x = x_0$处的切线就是$\mathbf{T}_x = (1, 0, f_x(x_0, y_0))$。同样曲面$z = f(x, y)$和平面$x = x_0$形成的交线在$M_0$点的切线是$\mathbf{T}_y = (0, 1, f_y(x_0, y_0))$。

高阶偏导数

像一元实函数的高阶导数那样，我们可以定义高阶偏导数，以二元函数为例，已知二元函数$u = f(x, y)$的两个一阶偏导数$f_1(x, y)$和$f_2(x, y)$，它们都是$x, y$的函数，现定义 $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} := \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)$ 为一个二阶偏导数，可简记为$f_{xx}, f_{11}, f''_{11}, u_{xx}$，一般我们不记作$f_{x^2}$，因为这样会引起歧义。

另外三个偏导数则是$f_{12}, f_{21}. f_{22}$，类比$f_{11}$的定义不难解释它们的意义。二元函数的二阶偏导数一共有四个，需要注意，一般情况下$f_{12} \ne f_{21}$，即求导不能交换变量求导次序。但是当$f_{12}, f_{21}$是连续函数时就有$f_{12} = f_{21}$，一般我们也总假设有这样的连续性存在，这样$\dfrac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}$就和求导顺序无关了。

复合函数的链式法则

设$u = f(x, y)$，且$x = x(s, t), y = y(s, t)$，那么有如下链式求导法则

$$\begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial s} &= \dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial s} \\ \dfrac{\partial u}{\partial t} &= \dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial t} \\ \end{align}$$

证明从略，在求偏导是特别要注意直接变量与间接变量，另外要使用不易混淆的记号，例如

$$u = f(x, y, t),\quad x = x(s, t), \quad y = y(s, t)$$

$u$实际上是$s, t$的函数，而$x, y$则是中间变量，那么

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = f_1 \cdot x_t + f_2 \cdot y_t + f_3.$$

这种写法可以避免如下写法等式右端第三项$\dfrac{\partial u}{\partial t}$产生的混淆

$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial u}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial t} + \dfrac{\partial u}{\partial t}.$$

上下节

• 上一节：多元函数的连续性
• 下一节：全微分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.