在平面几何中，余弦定理是有关三角形的一个十分基本的定理。
假设有 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ，其中角 A , B , C {\displaystyle A, B, C} 所对的边分别为 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，那么成立 a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B , c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C . {\displaystyle \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A, \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B, \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C. \end{align}} 其中 cos A {\displaystyle \cos A} 表示角 A {\displaystyle A} 的余弦，故名余弦定理。
该定理使用向量法是最直接且简单的证明。不失一般性，仅证明第三个等式。考虑向量 A B → = A C → − B C → . {\displaystyle \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}.} 两边取模长后平方得到 c 2 = | A B → | 2 = | C B → − C A → | 2 = ( C B → − C A → , C B → − C A → ) = ( C B → , C B → ) − 2 ( C B → , C A → ) + ( C A → , C A → ) = | C B → | 2 + | C A → | 2 − 2 | C B → | | C A → | cos ⟨ C B → , C A → ⟩ = a 2 + b 2 − 2 a b cos C . {\displaystyle \begin{align} c^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 & = |\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}|^2 \\ & = (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) \\ & = (\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CB}) - 2 (\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CA}) \\ & = |\overrightarrow{CB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 - 2 |\overrightarrow{CB}| |\overrightarrow{CA}| \cos \langle \overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA} \rangle \\ & = a^2 + b^2 - 2ab \cos C. \end{align}} 证毕。
这里用到向量的内积的定义以及性质。
，其中角
所对的边分别为
，那么成立
其中
表示角
的余弦，故名余弦定理。
两边取模长后平方得到
证毕。
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