余弦

余弦（cosine， $\cos$ ）是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是 $[-1, 1]$ 。它是周期函数，其最小正周期为 $2\pi$ 。

定义[]

在直角三角形中，一个锐角 $\angle A$ 的余弦值定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

\cos A = \dfrac{b}{c}

其定义和正割函数互为倒数。

设 $\theta$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 中的一个象限角， $P(x, y)$ 是角的终边上一点， $r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$ 是 $P$ 到原点 $O$ 的距离，则 $\theta$ 的余弦定义为：

\cos \theta = \dfrac{x}{r}

在平面坐标系中，有一个以原点为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同 $x$ 轴正半部分得到一个角 $\theta$ （逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交。这个交点的 $x$ 坐标等于 $\cos \theta.$

\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}

y'' = -y, y(0) = 1, y'(0) = 0.

\cos \theta = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta} + \text{e}^{-\text{i}\theta}}{2}

说明：以第一象限角为例，注意其余象限角的符号处理。

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\cos \theta =$	$\sqrt{1 - \sin^2\theta}$	$\cos \theta$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$

\cos (x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y.

二倍角公式： $\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta;$
三倍角公式： $\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta.$
多倍角公式： $\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left[\frac{1}{2}(n-k)\pi\right] = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} (-1)^k \frac{n}{n-k} \binom{n-k}{k} (2\cos \theta)^{n-2k}.$ （第一类 Chebyshev 多项式）
半角公式： $\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{2}.$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2};$
$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4};$
$\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8};$
$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}.$
${\displaystyle \cos^n\theta = \begin{cases} \displaystyle{\frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}}, & n \text{ is odd}, \\ \displaystyle{\frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{[(n-2k)\theta]}}, & n \text{ is even}. \end{cases}}$

\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \phi} {2} \right) \cos \left( \frac{\theta - \phi}{2}  \right);

\cos \theta - \cos \phi = -2\sin\left( {\theta + \phi \over 2}\right) \sin \left( {\theta - \phi \over 2} \right);

\cos\theta\cos\phi={\cos(\theta+\phi)+\cos(\theta-\phi)\over2}.

万能公式： $\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}.$ 微积分中三角代换时可能会用到。
平方差公式：
1. （余弦平方差） $\cos^2 \alpha - \cos^2 \beta = -\sin(\alpha+\beta) \sin(\alpha-\beta).$
2. （余正弦平方差） $\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta = \cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta).$
连乘公式：
1. $\prod_{k=1}^n \cos \dfrac{\alpha}{2^k} = \dfrac{\sin \alpha}{2^n \sin \frac{\alpha}{2^n}}.$
2. $\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin \frac{n\pi}{2}}{2^{n-1}}.$
3. $\prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}.$
4. $\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{1}{2^n}.$
Dirichlet 核： $\sum_{n=-N}^N \text{e}^{\text{i}nx} = 1 + 2 \sum_{k=1}^N \cos(kx) = \dfrac{\sin(N+\frac{1}{2})x}{\sin\frac{x}{2}}.$