余割

余割（Cosecant，$\csc$）是三角函数的一种。它的定义域不是整个实数集，值域是绝对值大于等于1的实数。它是周期函数，其最小正周期为$2\pi$。在单位圆上，余割函数位于割线上，因此将此函数命名为余割函数。

定义

直角三角形定义

直角三角形定义

在直角三角形中，一个锐角$\angle A$的余割定义为它的斜边与对边的比值，也就是：

$\csc A = \frac {c}{a}\,\!$

其定义和正弦函数互为倒数。

平面直角坐标定义

设$\theta$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，$P\left( {x,y} \right )$是角的终边上一点，则$\theta$的余割定义为：

$\csc \theta = \frac{r}{y}$

单位圆定义

单位圆的两种定义

在平面坐标系中，有一个以原点为圆心半径为一个单位长度的圆（即单位圆）。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角$\theta$（逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角），并与单位圆相交于A点。余割可以通过以下两种方式定义：

1. 记单位圆与y轴的交点为E，过E作垂直于y轴的直线，该直线于OA延长线交于一点P，则OP的长度为该角余割的绝对值（一、二象限为正值；三、四象限为负值）。（图中蓝线）
2. 过A点做一直线，与单位圆相切，直线与y轴的交点与原点之间的距离即为该角度的余割值（一、二象限为正值；三、四象限为负值）。（图中绿线）

级数定义

${\displaystyle \csc x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots (0<|x|<\pi )}$

微分定义

$\csc ' x=-\csc x \cot x$

$\csc x =\left( \ln \left |\csc x - \cot x\right | \right) '$

指数定义

$\csc \theta = \frac{2\mathrm{i}}{e^{{\mathrm{i}}\theta} - e^{-{\mathrm{i}}\theta}} \,$

恒等式

与其他三角函数的关系

说明：以第一象限角为例，注意其余象限角的符号处理。

函數	$\sin$	$\cos$	$\tan$	$\cot$	$\sec$	$\csc$
$\csc \theta$	${1 \over \sin \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

和差恒等式

$\csc(\alpha\pm\beta)=\frac{\csc\alpha\csc\beta}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$

倍半角公式

$\begin{align} \csc 2\theta &= \frac{\csc^2\theta}{2\cot\theta} \\ &= \frac{\sec\theta\csc\theta}{2} \end{align}$

$\csc 3\theta =\frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}$

$\csc \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{2\sec\theta}{\sec\theta - 1}}$

拓展阅读

• 三角恒等式