伴随矩阵

在矩阵论中，一个方阵的伴随（adjugate）是通过原矩阵的代数余子式构造出来的新矩阵，它的第ij元是原来矩阵的第ij元对应的代数余子式，这种伴随常常称为经典伴随。

定义

设$A \in \mathbb{P}^{n \times n}, n \geqslant 2$，如下方阵 $$A^* := \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{pmatrix}$$ 是$A$的伴随矩阵（adjoint matrix），其中$A_{ij}$是$a_{ij}$对应的代数余子式。

性质

1. 当$A$可逆时，$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} A^*.$
2. 设$A \in \mathbb{P}^{m \times n}, n \geqslant 2$，那么$$\operatorname{rank} A^* = \begin{cases} n, & \operatorname{rank} A = n, \\ 1, & \operatorname{rank} A = n-1, \\ 0, & \text{else}.\end{cases}$$

参考资料

1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.