伪球面

空间几何中伪球面（pseudo-sphere）是由曳物线旋转得到的旋转面。由于它和球面有对偶的一些性质，故名伪球面。

定义[]

假设有 $xOy$ 平面内的曳物线，它有双曲参数表示 ${\displaystyle \begin{cases} x = a (u - \tanh u), \\ y = a \operatorname{sech} u, \end{cases}}$ 那么其围绕 $x$ 轴旋转一周形成的旋转曲面参数方程为 $\boldsymbol{r}(u, v) = (a (u - \tanh u), a \operatorname{sech} u \cos v, a \operatorname{sech} u \sin v)$

Gauss 曲率[]

伪球面是负常 Gauss 曲率的旋转曲面，其上任意一点都是双曲点；而球面是正常 Gauss 曲率的旋转曲面，其上任意一点都是（椭）圆点。

参考资料

彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.

微分几何学（学科代码：1102745，GB/T 13745—2009）
曲线论	曲线 ▪ 参数曲线 ▪ 正则曲线 ▪ 弧长参数 ▪ 曲率 ▪ 挠率 ▪ Frenet 标架 ▪ 向量积 ▪ 曲线论基本定理 ▪ 混合积 ▪ 渐屈线 ▪ 四顶点定理 ▪ 旋转指数定理
曲面局部理论	曲面 ▪ 曲面的第一基本形式 ▪ 曲面的第二基本形式 ▪ 曲面的第三基本形式 ▪ 法曲率 ▪ 主曲率 ▪ Gauss 曲率 ▪ Dupin 标线 ▪ Weingarten 变换 ▪ Riemann 度量 ▪ Gauss 方程和 Codazzi 方程 ▪ 曲面的正交标架
曲面整体理论	Euler 示性数 ▪ Gauss-Bonnet 公式 ▪ 紧致曲面 ▪ 凸曲面 ▪ 完备曲面 ▪ 常 Gauss 曲率曲面（sine-Gordon 方程） ▪ Hilbert 定理 ▪ 常平均曲率曲面（Hopf 微分） ▪ 极小曲面 ▪ 稳定极小曲面
特殊类型曲面	直纹面（包括可展曲面，正螺面，切线面） ▪ 旋转面（包括柱面，锥面，伪球面，悬链面） ▪ 全脐点曲面
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