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拓撲空間的緊性使得分離公理變得十分簡單,但是緊空間並不常見,就連通常的 Euclid 空間都不是緊的,因此我們引入比緊性更弱的概念——局部緊緻空間仿緊空間(paracompact space)。

定義[]

定義仿緊空間需要先定義覆蓋的加細(refine)。

覆蓋的加細[]

假設拓撲空間的一個覆蓋,若對任意都有的一個鄰域僅與中有限個元素有非空交集,則稱的一個局部有限覆蓋。

仿緊空間[]

假設是拓撲空間,如果的每一個開覆蓋都有一個局部有限的開覆蓋是它的加細,我們就稱仿緊緻空間仿緊空間

Euclid 空間是仿緊空間的一個例子。

性質[]

  1. 緊空間是仿緊的,離散空間也是仿緊的。
  2. 仿緊的空間是的。
  3. 仿緊的 Hausdorff 空間的。
  4. 仿緊空間的閉子空間是仿緊的。
  5. 如果仿緊空間的每一個開子空間是仿緊的,那麼該仿緊空間的每一個子空間都是仿緊的。
  6. 仿緊空間的有限乘積空間是仿緊的。
  7. 度量空間是仿緊的,(參見這裡)。
  8. 局部緊緻且第二可數Hausdorff 空間是仿緊的。第二可數的條件可以換成 Lindelof 空間的條件。這個性質在研究流形的微積分時用到。

參考資料

  1. 熊金城, 《點集拓撲講義(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.
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