拓撲空間的緊性使得分離公理變得十分簡單,但是緊空間並不常見,就連通常的 Euclid 空間都不是緊的,因此我們引入比緊性更弱的概念——局部緊緻空間和仿緊空間(paracompact space)。
定義[]
定義仿緊空間需要先定義覆蓋的加細(refine)。
覆蓋的加細[]
假設是拓撲空間,是的一個覆蓋,若對任意都有的一個鄰域僅與中有限個元素有非空交集,則稱是的一個局部有限覆蓋。
仿緊空間[]
假設是拓撲空間,如果的每一個開覆蓋都有一個局部有限的開覆蓋是它的加細,我們就稱是仿緊緻空間或仿緊空間。
Euclid 空間是仿緊空間的一個例子。
性質[]
- 緊空間是仿緊的,離散空間也是仿緊的。
- 仿緊的空間是的。
- 仿緊的 Hausdorff 空間是的。
- 仿緊空間的閉子空間是仿緊的。
- 如果仿緊空間的每一個開子空間是仿緊的,那麼該仿緊空間的每一個子空間都是仿緊的。
- 仿緊空間的有限乘積空間是仿緊的。
- 度量空間是仿緊的,(參見這裡)。
- 局部緊緻且第二可數的 Hausdorff 空間是仿緊的。第二可數的條件可以換成 Lindelof 空間的條件。這個性質在研究流形的微積分時用到。
參考資料
- 熊金城, 《點集拓撲講義(第五版)》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN
978-7-0405-3617-1
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點集拓撲學(學科代碼:1103110,GB/T 13745—2009) | |
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基本概念 | 拓撲空間 ▪ 拓撲 ▪ 開集和閉集 ▪ 閉包和內部 ▪ 外部和邊界 ▪ 聚點和導集 ▪ 連續映射 ▪ 同胚 ▪ 鄰域 ▪ 鄰域基 ▪ 拓撲基 ▪ 拓撲流形 |
可數可分性 | 拓撲分離公理 ▪ 完全正則空間 ▪ 第一可數空間 ▪ 第二可數空間 ▪ 可分空間 ▪ Hausdorff 空間 ▪ Lindelof 空間 ▪ Urysohn 引理 ▪ Tietze 擴張定理 ▪ Urysohn 度量化定理 |
新的拓撲 | 子拓撲 ▪ 乘積拓撲 ▪ 商拓撲 ▪ 拓撲和 ▪ 楔和 ▪ 貼空間 |
緊性和連通性 | 緊空間和緊集 ▪ 列緊空間 ▪ 序列緊緻空間 ▪ 可數緊緻空間 ▪ 局部緊緻空間 ▪ 仿緊緻空間 ▪ 覆蓋 ▪ 粘結引理 ▪ 隔離子集 ▪ 連通空間 ▪ 連通分支 ▪ 局部連通空間 ▪ 道路連通空間 |
映射空間 | 點式收斂拓撲 ▪ 一致收斂拓撲 ▪ 緊緻-開拓撲 |
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