仿紧致空间

拓扑空间的紧性使得分离公理变得十分简单，但是紧空间并不常见，就连通常的 Euclid 空间$\R^n$都不是紧的，因此我们引入比紧性更弱的概念——局部紧致空间和仿紧空间（paracompact space）。

定义

定义仿紧空间需要先定义覆盖的加细（refine）。

覆盖的加细

假设$X$是拓扑空间，$\mathcal{A}$是$A \subset X$的一个覆盖，若对任意$x \in A$都有$x$的一个邻域$U$仅与$\mathcal{A}$中有限个元素有非空交集，则称$\mathcal{A}$是$A$的一个局部有限覆盖。

仿紧空间

假设$X$是拓扑空间，如果$X$的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细，我们就称$X$是仿紧致空间或仿紧空间。

Euclid 空间$\R^n$是仿紧空间的一个例子。

性质

1. 紧空间是仿紧的，离散空间也是仿紧的。
2. 仿紧的$T_3$空间是$T_4$的。
3. 仿紧的 Hausdorff 空间是$T_3, T_4$的。
4. 仿紧空间的闭子空间是仿紧的。
5. 如果仿紧空间的每一个开子空间是仿紧的，那么该仿紧空间的每一个子空间都是仿紧的。
6. 仿紧空间的有限乘积空间是仿紧的。
7. 度量空间是仿紧的，（参见这里）。
8. 局部紧致且第二可数的 Hausdorff 空间是仿紧的。第二可数的条件可以换成 Lindelof 空间的条件。这个性质在研究流形的微积分时用到。

参考资料

1. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.