仿射标架

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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在上一节的最后，我们对向量引入了坐标，也就是说，空间中的任意一个向量都可以在一组基底下用三元实数对唯一表示，这样我们就可以对空间中的点也引入坐标。

空间中点的坐标及仿射标架

空间中的一个点 $O$ 和一组基底 $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ 共同组成这个空间的一个仿射标架，记为 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$，我们将 $O$ 称为原点，空间中任意一点 $A$ 的坐标用向量 $\overrightarrow{OA}$ 表示，这样，通过将点与一个向量一一对应就转换到了一个点和一个三元实数对一一对应。

对一个仿射标架 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$，我们将 $\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}$ 所在的有向直线分别叫做 $x$ 轴、$y$ 轴以及 $z$ 轴，统称为坐标轴，任意两条坐标轴都可以确定一个平面，共可确定三个平面：$Oxy$、$Oxz$ 以及 $Oyz$ 平面，统称为坐标平面，这三个坐标平面把空间分为八个部分，分别叫做八个卦限。点在仿射标架中的坐标称为仿射坐标。

卦限与其内点的坐标的正负之对应表

卦限	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ
横坐标	+	-	-	+	+	-	-	+
纵坐标	+	+	-	-	+	+	-	-
竖坐标	+	+	+	+	-	-	-	-

将右手四指从 $x$ 轴正方向弯向 $y$ 轴正方向，拇指所指的方向如果和 $z$ 轴同向，则称这个仿射坐标系为右手系，反之则称为左手系。

直角坐标系

如果单位向量 $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}$ 两两垂直，则称仿射标架 $[O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]$ 为一（空间）直角标架，也叫做（空间）直角坐标系，特别地，如果它是右手系，则称为（空间）右手直角坐标系。点在直角坐标系中的坐标称为直角坐标。

直角坐标系是特殊的仿射坐标系，它有一些很好的性质，在进行相关计算时会变得非常简便，在下一节中我们就会体会到。

向量线性运算的坐标形式

向量的加法

设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 在仿射标架 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$ 中的坐标为 $(a_1,~a_2,~a_3)^{\operatorname{T}}$ 和 $(b_1,~b_2,~b_3)^{\operatorname{T}}$ ，则

$\begin{align} \vec{a} + \vec{b} & = ( a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3} ) + ( b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3} ) \\ & = ( a_1 + b_1 ) \vec{d_1} + ( a_2 + b_2) \vec{d_2} + ( a_3 + b_3) \vec{d_3} \\ \end{align}$

我们可以简记为：

$(a_1,~a_2,~a_3)^{\operatorname{T}} + (b_1,~b_2,~b_3)^{\operatorname{T}} = (a_1 + b_1,~a_2 + b_2,~a_3 + b_3)^{\operatorname{T}}$

向量的数乘

$\forall \lambda \in \mathbb{R},$

$\begin{align} \lambda \vec{a} & = \lambda ( a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3} ) \\ & = ( \lambda a_1 ) \vec{d_1} + ( \lambda a_2 ) \vec{d_2} + ( \lambda a_3 ) \vec{d_3} \\ \end{align}$

我们可以简记为：

$\lambda (a_1,~a_2,~a_3)^{\operatorname{T}} = ( \lambda a_1,~\lambda a_2,~\lambda a_3)^{\operatorname{T}}$

进一步，我们可以得出向量的减法： $(a_1,~a_2,~a_3)^{\operatorname{T}} - (b_1,~b_2,~b_3)^{\operatorname{T}} = (a_1 - b_1,~a_2 - b_2,~a_3 - b_3)^{\operatorname{T}}$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$\begin{align} (a_1,~a_2,~a_3)^{\operatorname{T}} - (b_1,~b_2,~b_3)^{\operatorname{T}} & = ( a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3} ) - ( b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3} ) \\ & = ( a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3} ) + ( - 1 ) ( b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3} ) \\ & = ( a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3} ) + [ ( - b_1 ) \vec{d_1} + ( - b_2 ) \vec{d_2} + ( - b_3 ) \vec{d_3} ] \\ & = ( a_1 - b_1 ) \vec{d_1} + ( a_2 - b_2) \vec{d_2} + ( a_3 - b_3) \vec{d_3} \\ & = (a_1 - b_1,~a_2 - b_2,~a_3 - b_3)^{\operatorname{T}} \\ \end{align}$

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