代数运算

运算（operator）是数学中基础的概念，尤其是一些我们熟知的代数结构上的运算，称之为代数运算。在代数学的框架下给运算一个好的定义会帮助我们洞察不同代数结构之间的共同点，这一点正是泛代数的出发点。

概念

给定非空集合$A$以及一个非负整数$n$，定义$A^0 = \{ \varnothing \}$以及$A^n = A \times A \times \cdots \times A$是$A$的$n$次笛卡尔积，其中的元素$(a_1, a_2, \cdots, a_n), (a_i \in A, i = 1,2,\cdots,n)$称为数对（tuple）。

$A$上的$n$元运算$f$（或称函数，算子等等）是$f: A^n \to A$，$n$被称为$f$的元数（arity）或秩（rank）。一个有限运算是指存在非负整数$n$使得$f$是$n$元运算。

数对$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$在$f$下的结果也称之为它的象，记作$f(a_1, a_2, \cdots, a_n).$

代数的型

我们要把运算抽象在一起，这样可以更好地归纳它们的共性，这就是——代数的型（这四个字是一个整体，我们要用它定义“代数”）这一概念。

代数的型（type）或者代数的语言（language）是一个由被称为函数符号$f$（function symbol）的概念组成的集合$\mathcal{F}$，这里函数符号$f$是指由非负整数$n$唯一确定的一个概念，这个非负整数$n$称为$f$的元数或秩，同时$f$也称为$n$元函数符号。

$\mathcal{F}$中$n$元函数符号的全体构成的子集记作$\mathcal{F}_n.$

代数

有了代数的型的概念，我们来定义代数：

假设有代数的型$\mathcal{F}$，类型为$\mathcal{F}$的代数（algebra）定义为一个有序对$(A, \mathcal{F})$，其中，$A$是非空集合，$F = \{ f^A \}$是$A$上的有限元运算族（元素个数可以无限），且$F$中的$n$元运算$f^A$和$\mathcal{F}$中的$n$元函数符号$f$有对应关系。这也就是说，$\mathcal{F}$是$F$的指标集。

这里，$A$称为$(A, F)$的泛集（universe）或底集（underlying set），$f^A$称为是基本运算（fundamental operation），在不引起混淆的情况下可以用$f$简写$f^A$（但不推荐），当$\mathcal{F}$是有限集即$\mathcal{F} = \{ f_1, f_2, \cdots, f_k \}$时可以将类型为$\mathcal{F}$的代数按照$f_k$的元数递减的顺序写为$(A, f_1, f_2, \cdots, f_k).$

一些常见的代数（系统）参见代数。

参考资料

1. S. Burris, H. P. Sankappanavar, A Course in Universal Algebra, GTM Vol.78, Springer, New York, 2011-10, ISBN 978-1-4613-8132-7.