交换群

一个群$G$被称为交换群（或阿贝尔群，Abelian group）是指群$G$的乘法可交换，即

$$\forall a, b \in G, \quad ab = ba.$$

性质

1. 若群$G$满足如下任意一条，都是交换群
   1. $\forall a, b \in G, (ab)^{-1} = a^{-1} b^{-1}.$（这也是交换群的一个充要条件，甚至可以将它等价表述为$f: G \to G, f(x) = x^{-1}$是一个自同构映射）；
   2. $\forall a, b \in G, (ab)^2 = a^2 b^2;$
   3. $\forall a, b \in G, (ab)^3 = a^3 b^3, (ab)^5 = a^5 b^5.$
2. $\forall n \in \Z, \forall a, b \in G, (ab)^n = a^n b^n,$但有该性质的不一定是交换群，例如满足如下条件
   $$\forall a, b \in G, (ab)^3 = a^3 b^3$$
   的群，可以是如下定义的非交换群$GZ_3$：

   该群中所有元素都是$3 \times 3$的上三角矩阵，且对角线元素为1，其余非零元素是$0,1,2$中的一个。

3. 满足如下条件
   $$\forall a \in G, a^2 = e$$
   的群$G$，也是一个交换群。这仅需注意到$a = a^{-1}$即可。但是将上述条件改为
   $$\forall a \in G, a^3 = e$$
   后结论不再成立，还是考虑上例的$GZ_3.$
4. 阶数小于6的群都是交换群，最小的非交换群阶数为6，例如对称群$S_3.$
5. 交换群$G$的任意$n$阶遍历元素构成的群$mG = \{ mg: g \in G \}$是交换群。
6. 如果一个交换群$G$有直和分解$G \cong \sum_{i \in I} G_i$，那么$mG \cong \sum_{i \in I} mG_i$且$G/mG \cong \sum_{i \in I} G_i / mG_i.$
7. 有限生成的交换群的子群未必是有限生成的，例如，二阶实矩阵$\begin{pmatrix} 2 \\ & 1 \end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix}$在矩阵乘法下构成一个群，但是它的一个子群（对角线上全为一的矩阵构成的群）不是有限生成的。
8. 有限生成的交换群，如果非平凡元素没有有限阶数，那么这个群是自由交换群。但是这对一般交换群不成立，例如有理数加群不是自由的，它不是有限生成的。

自由交换群

在自由群中，可交换的自由群有很好的结构，如果$S = \{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$是群$G$的一个底集，那么群中的元素可以表示为底集的整线性组合，即

$$\forall a \in G, \quad a = \sum_{i=1}^n k_i a_i, k_i \in \Z.$$

在交换群范畴中，一些交换群的余积（coproduct）是它们的自由积，同时也是弱直和。

基和维数

交换群上有加法和整数群作用在其上的数量乘法，我们自然也可以定义所谓线性无关性，交换群$G$的一个子集$S$被称为是线性无关的（linearly independent），如果它满足

对不同的$x_1, x_2, \cdots, x_k \in S$，关于变元$n_i \in \Z$的线性组合方程$\sum_{i=1}^k n_k x_k = 0$只有零解，即$n_i = 0, \forall i = 1,2,\cdots,k.$这里$k$称为这个线性无关集合的秩（rank）。

这个条件等价于

群$\langle S \rangle$的任意非零元素$x$在$S$中的表法唯一：存在唯一一列互异的元素$\{ x_i \}_{i=1}^{k_x}$以及一列唯一的非零整数$\{ n_i \}_{i=1}^{k_x}$使得$x = \sum_{i=1}^{k_x} n_i x_i.$

进一步可以定义基，根据上面定义线性无关集合的第二个等价条件，我们只需要，一个交换群$G$的基底或基（base）$S$是$G$的满足下面一个条件的线性无关集合：

$G = \langle S \rangle.$

交换群$G$是自由群当且仅当它有非空基，虽然基可能有很多，但是它们的基数是一定的，称为这个交换群的维数（dimension）或秩（rank）。有限生成的自由交换群都同构于$\Z^n$，其中$n$是生成元的数量。

两个自由交换群同构当且仅当它们有相同的秩。虽然我们希望将线性空间上的关于向量组理论部分搬到交换群上去，例如向量组的等价，向量组扩充为基等等，但是很不幸，这里定义的线性无关和基的概念要比线性空间中的性质差，这是因为：

1. 如果$G$是非零秩$n$的自由交换群（例如，整数加群及其任意的乘积群$\Z^{\oplus A}$），含有$n$个元素的线性无关集合未必是一个基。例如$\{ 2 \} \subset \Z$是线性无关的，但是它不是$\mathbb{Z}$的一个基，是$2 \mathbb {Z}$的一个基。
2. 线性无关的集合，如果它的秩小于交换群的秩，这个集合未必可以扩充为交换群的基。例如$\{ (0, 2) \} \subset \Z^2$是线性无关集合，但是它不可能扩充为$\mathbb{Z}^2$的基，$\mathbb{Z}^2$的基必须有形式$\{ (0, \pm 1), (\pm 1, 0) \}.$
3. 自由交换群$G$的一个生成集$S$（即$G = \langle S \rangle$）未必含有$G$的一组基。例如$\{ -4, 6 \} \subset \Z$在$\mathbb{Z}$中生成了$2 \mathbb {Z}$，但是$2 \mathbb {Z}$的基必须有形式$\{ \pm 2 \}.$

造成上面三点的原因是：交换群的结构太简单了，群自身的结构和数量乘法结构重复度很高，这就要求我们区分出二者，进而数量乘法必须通过一个群（我们还需要考虑数量乘法自身的运算，这就要求群上必须有两种运算且有某种相容性，这就是环）作用在另一个群上进行，此时为了兼容原来交换群上的加法，必须将其视作另外一种运算，加法的交换性要求我们作用的对象必须是交换群，这种结构就是模，上面定义交换群的作用的数量乘法的乘数有负元，这要求模上作用的非零数量乘法它必须是有逆元的，于是要求作用的环是域，这就是线性空间。

自由交换群和自由群

按照自由群理论，集合$S = \{ s_i \}_{i \in I}$生成的自由交换群$G$有如下自由表示

$$G \cong \langle \{ s_i\}_{i \in I}; s_is_j = s_js_i, \forall i, j \in I \rangle$$

因此自由交换群未必是自由群！一个自由交换群是自由群当且仅当这个群是循环群，即同构于整数加群。

进一步，假设$F(X)$分别是集合$X$上的自由群，$F'(X)$是这个自由群的导群，它自然是正规的。且$F(X) / F'(X)$是交换群（由导群理论可知，这个群是自由群的交换化），同时它还是秩为$|X|$的自由交换群，$\{ xF'(X): x \in X \}$是$F(X) / F'(X)$的一组基。因此两个自由群同构当且仅当它们的底集基数相同。

自由交换群的性质

1. 任意个自由交换群的直和是自由交换群，直积未必（交换群的直和是弱直积）。
2. 非零的自由交换群$G$有任意正整数指标的子群$H$，即存在子群$H \subset G$使得$[G: H] = n.$
3. 整系数一元多项式加法群是交换群，它同构于正有理数乘法群，因此正有理数乘法群是自由交换群，它的基是素数集合。

有限生成的交换群

有限生成的交换群一定是相同生成元的自由群的同态象，更进一步，有：

设$G$是非平凡的有限生成的交换群，那么存在正整数$1 < n_1 \mid n_2 \mid \cdots \mid n_s$满足$|G| = d_1 d_2 \cdots d_s$使得

$$G \cong \bigoplus_{k=1}^n \dfrac{\Z}{d_k \Z} \oplus F.$$

这种分解是唯一的，$d_k$被称为是$G$的不变因子（invariant factor）。$F$是某个自由交换群。

设$G$是非平凡的有限交换群，那么存在素数$p_1, p_2, \cdots, p_r$以及正整数$n_{ij}$满足$|G| = \prod_{i,j} p_i^{n_{ij}}$使得

$$G \cong \bigoplus_{i,j} \dfrac{\Z}{p_i^{n_{ij}} \Z} \oplus F'$$

这种分解是唯一的。素数的幂次$p_i^{n_{ij}}$被称为初等因子（elementary divisor）。$F'$是某个自由交换群。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.