二项分布

在概率论中，二项分布是一个十分重要且应用广泛的概率分布。

模型

设在$n$重伯努利试验中$P(A) = p, P(\overline{A}) = q = 1-p$，那么事件$A$发生$k$次（$0 \leqslant k \leqslant n$）的概率是 $$b(k; n, p) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k},$$ 例如，在摸球模型中：一个袋中装有除颜色不同外其余情况均相同的若干个红球和黄球，抽到红球的概率是$p$，有放回地从袋中抽出$n$个球，抽到$k$个红球的概率就满足上述分布。

容易验证二项分布满足规范化条件 $$\sum_{k=0}^n b(k; n, p) = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k} = (p+q)^n = 1.$$ 因其求和使用到二项式定理而得名。

当$n=1$时退化为伯努利分布（即两点分布）。

对于二项分布，我们通常用随机变量$X$表示事件$A$发生的次数，这样 $$P\{ X = k \} = b(k; n, p) = \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k},$$ 简记作$X \sim B(n, p).$

R 语言的二项分布分布律函数为dbinom，一些不同参数的二项分布分布律为

中心项

我们讨论给定试验次数$n$后，概率$P\{X = k\}$随$k$的变化情况。 $$\dfrac{P\{X=k\}}{P\{X=k-1\}} = \dfrac{(n-k+1)p}{kq} = 1+\dfrac{(n+1)p-k}{kq}$$

1. 当$k < (n+1) p$时，$P\{X=k\} > P\{X=k-1\};$
2. 当$k = (n+1)p$时，$P\{X=k\} = P\{X=k-1\};$
3. 当$k > (n+1) p$时，$P\{X=k\} < P\{X=k-1\};$

因此，当$(n+1)p$为整数时，概率$P\{X = k\}$在$k = (n+1)p - 1$以及$k = (n+1)p$处同时达到最大值，概率整体的趋势是先增大后减小，当$(n+1)p$不为整数时，概率在$[(n+1)p]$处达到唯一最大值。

我们将最大值对应的$b(k; n, p)$称为二项分布的中心项。

泊松逼近

当二项分布的试验次数$n$很大，每次试验的概率$p$很小，而$np$大小适中时，我们可以用泊松分布来近似二项分布的值。

泊松分布满足 $$p(k;\lambda) = \dfrac{\lambda^k}{k!} \text{e}^{-\lambda}$$ 其中，$\lambda = np$为该分布的强度。

用这一分布对二项分布做近似，可以简化二项分布中的计算。

数字特征

二项分布的期望和方差分别是$E(X) = np, D(X) = npq.$ 这是因为 $$\begin{align} E(X) & = \sum_{k=1}^n k \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k} \\ & = np \sum_{k=1}^n \dbinom{n-1}{k-1} p^{k-1} q^{n-k} \\ & = np(p+q)^{n-1} = np. \\ D(X) & = E(X^2) - (E(X))^2 \\ & = \sum_{k=1}^n k^2 \dbinom{n}{k} p^k q^{n-k} - n^2 p^2 \\ & = npq + n^2 p^2 - n^2 p^2 = npq. \end{align}$$ 二项分布的特征函数是$(p \text{e}^{\text{i}t} + q )^n.$

统计特性

指数分布族

参数空间为$\varTheta = \{ \theta: 0 < \theta < 1 \}$的二项分布族$b(n, \theta)$是指数分布族。

充分完备统计量

参数空间为$\varTheta = \{ \theta: 0 < \theta < 1 \}$的两点分布族$b(1, \theta)$是完备的。且它的一个充分完备统计量是$T = \sum_{k=1}^n X_k.$

点估计

1. 参数空间为$\varTheta = \{ \theta: 0 < \theta < 1 \}$的两点分布族$b(1, \theta)$的总体$X$的矩估计和极大似然估计都是$\overline{X}$。
2. 给定正整数$n$，$p \in (0, 1)$是参数，服从$b(n, p)$的样本$X$关于参数$p$的一致最小方差无偏估计是$\overline{X}$，关于$p(1-p)$的一致最小方差无偏估计是$\dfrac{n}{n-1} \overline{X} (1-\overline{X})$，而关于$\dfrac{1}{p}$的无偏估计不存在。
3. 双参数的二项分布族$b(n, p)$（这里$k \in \N^+, p \in (0, 1)$都是未知参数）的矩估计分别是$\hat{n} = \left[ \dfrac{\overline{X}^2}{\overline{X} - S_n^2} \right], \hat{p} = 1 - \dfrac{S_n^2}{\overline{X}}.$这里$[x]$是取整函数，$S_n^2$是样本方差。

上下节

• 上一节：离散型随机变量
• 下一节：几何分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.