二项式定理

二项式定理指以下的定理：

若x和y为复数，n为正整数，则$(x+y)^n = \sum_{m=0}^n C_{m}^n x^my^{n-m}$，其中$C_{m}^n = \frac{n!}{m!(n-m)!}$，$n!$代表n的阶乘。

此定理的证明很初等，利用数学归纳法和帕斯卡法则($C_{m}^n = C_{m}^{n-1} + C_{m-1}^{n-1}$)即可证出。

帕斯卡三角形

帕斯卡三角形，又名杨辉三角形、贾宪三角形等，是一个由二项式定理所建构出来的三角形，如下图所示，其由上往下数的第n项(最上面是第0项)的各个数字相当于$(x+y)^n$当中各个$x^my^{n-m}$项的系数。

若将此三角形以以下形式写出，则最左边的永远都是1，而其馀每项的数字都是它正上方的数字和正上方左边一格的数字的和：

系数表

	$y^n$	$xy^{n-1}$	$x^2y^{n-2}$	$x^3y^{n-3}$	$x^4y^{n-4}$	......
$n=0$	1	0	0	0	0	......
$n=1$	1	1	0	0	0	......
$n=2$	1	2	1	0	0	......
$n = 3$	1	3	3	1	0	......
$n = 4$	1	4	6	4	1	......
...	1	......	......	......	......	......
$n = m$	1	m	......	......	......	......
...	1	......	......	......	......	......

其馀以此类推，且由“最左边的永远都是1，而其馀每项的数字都是它正上方的数字和正上方左边一格的数字的和”甚至于可推知$(1+x)^n$(也就是说y=1)在$n < 0$时的状况可能是怎样，进而推广二项式定理，但要注意的是，对于二项式定理在$n < 0$的状况下的推广，应当要注意其展开式所得的级数，对某些数可能不成立，如$n = -1$时，x就不能为1，不然会得到$(1+x)^{-1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ......$的古怪结果($1 - 1 + 1 - 1 + 1 ......$这个级数在0与1间震荡，不会收敛)。