二阶线性常微分方程

常微分方程理论中，二阶线性微分方程是指如下形式的常微分方程 $${\dfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+p(z){\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}+q(z)w(z)=0,$$ 其中，$w(z)$是关于$z$的未知复变函数，$p(z), q(z)$是已知复变函数。

一般考虑初值条件 $$w(z_{0})=c_{0},\quad w'(z_{0})=c_{1},$$ 下方程的解函数，该解函数的存在性与解析性完全由$p(z), q(z)$决定。

常点

如果函数$p(z), q(z)$在$z_0$的某个邻域中解析就称$z_0$是该方程的常点，关于常点的解的存在性有如下定理：

如果$p(z), q(z)$在$z_0$的某个邻域$|z-z_0| < R$中单值解析，那么方程#A1在$z_0$的该邻域中存在唯一满足初值条件#A2的解$w(z)$，且该函数在该邻域$|z-z_0| < R$中也是单值解析的。因此常点一定是解的解析点。

一般求解常点初值问题时将未知函数待定为$w(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$，得出展开系数的递推公式。

奇点

如果函数$p(z), q(z)$至少有一者在$z = z_0$的足够小邻域中不解析，我们就称$z_0$是方程#A1的奇点。它可能是解的奇点，关于奇点问题有如下定理：

如果点$z_0$是方程#A1的奇点，那么在$z_0$的一个足够小去心邻域$0 < |z - z_0| < R$内方程有两个线性无关的解 $$w_1(z) = (z - z_0)^{\rho_1} \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (z - z_0)^n$$ 以及 $$w_2(z) = (z - z_0)^{\rho_2} \sum_{n=-\infty}^\infty d_n (z - z_0)^n, \quad \rho_1 - \rho_2 \notin \N$$ 或 $$w_2(z) = g w_1(z) \ln(z - z_0) + (z - z_0)^{\rho_1} \sum_{n=-\infty}^\infty d_n (z - z_0)^n, \quad \rho_1 - \rho_2 \in \N$$ 这里$\rho_1, \rho_2, c_n, d_n, g$都是待定常数，理论上来说这个定理解决了解的存在性，但是利用上述待定系数的方法求解方程的解并不简单。

正则奇点

设$z_0$是方程#A1的奇点，如果方程#A1的解的洛朗展式中仅含有有限个负幂项，我们就称奇点$z_0$是正则奇点，这种情形成立当且仅当$(z-z_0)p(z), (z-z_0)^2q(z)$在$z_0$的某个充分小邻域中解析。

假设$p(z) = (z-z_0)^{-1} \sum_{n=0}^\infty a_n (z - z_0)^n, q(z) = (z-z_0)^{-2} \sum_{n=0}^\infty b_n (z - z_0)^n$，并假设$w(z) = (z-z_0)^{-\rho} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n$，代入方程#A1中，对比常数项可得 $$\rho (\rho - 1) + a_0 \rho + b_0 = 0$$ 该方程称为指标方程，用于确定$\rho$的数值。

无穷远点

之前的讨论均是在$z_0$为有限数时的讨论，当$z_0 = \infty$时可以考虑变量代换$t = \dfrac{1}{z}$并考察代换之后的方程 $$\dfrac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}t^2} + \left[ \dfrac{2}{t} - \dfrac{1}{t^2} p\!\left( \dfrac{1}{t} \right) \right] \dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} + \dfrac{1}{t^4} q\!\left( \dfrac{1}{t} \right) w(t) = 0$$ 在$t=0$处的情况。

1. $z_0 = \infty$是常点的条件是$p(z) = \dfrac{2}{z} + \sum_{n=2}^\infty \dfrac{a_n}{z^n}, q(z) = \sum_{n=4}^\infty \dfrac{b_n}{z^n}.$
2. $z_0 = \infty$是正则奇点的条件是$zp(z), z^2q(z)$在$z=\infty$解析。

参考资料

1. 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松, 《常微分方程（第三版）》, 高等教育出版社, 北京, 1978-12, ISBN 978-7-0401-9366-4.