二重積分

二重積分是多元積分中重積分的一種，是微積分學的一個基本而又重要的積分，在概率論中有重要應用。它有很直觀的一個幾何意義——空間中曲頂柱體的體積。

概念

設有一個有有限面積的的平面$D$，在其上定義了一個二元函數$f(x, y), \forall (x, y) \in D.$將$D$分為若干部分$\Delta \sigma_i, i = 1,2,\cdots, n$使其滿足$D = \bigcup_{i=1}^n \Delta \sigma_i$且$\Delta \sigma_i \cap \Delta \sigma_j = \varnothing, \forall i \ne j$，記$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} d(\Delta \sigma_i)$（所有分割部分的直徑的最大值，也叫分割的模），在$\Delta \sigma_i$中任取一點$(x_i, y_i)$，作下述積分和式 $$\sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta \sigma_i$$ 如果上述和式在$||\Delta|| \to 0$時對任意的分割方法和任意的$(x_i, y_i) \in \Delta \sigma_i$都有唯一的有限值，我們就說函數$f(x, y)$在$D$上 Riemann 可積，積分和式的極限叫作$f(x, y)$在$D$上的定積分（Riemann 積分），記作 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}\sigma = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta \sigma_i.$$ 特別地，在直角坐標系中，通常假設$\Delta \sigma_i = \Delta x_i \Delta y_i$，於是上式可寫為 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$$ 可以證明，若$f(x, y)$是$D$上的連續函數，那麼它必定可積。

化作二次積分

定理：若$f(x, y)$在矩形閉域$D = [a, b] \times [c, d]$上可積，且含參變量的積分$F(x) = \int_c^d f(x, y) \mathrm{d}y$在$x \in [a, b]$上收斂，那麼 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \mathrm{d}x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d}y.$$ 同樣對稱地，若$G(y) = \int_a^b f(x, y) \mathrm{d}x$在$y \in [c, d]$上收斂，那麼 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_c^d \mathrm{d}y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d}x.$$ 計算有關二重積分時可靈活選取上述一種，有時另一種可能不易或無法求出定積分。

如果積分區域是一個$x$型區域$D_x = \{ (x, y) | a \leqslant x \leqslant b, y_1(x) \leqslant y \leqslant y_1(x) \}$，那麼積分 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \mathrm{d}x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d}y.$$ 即該二重積分的計算先對$y$進行，此時將$x$視作常數，然後得到 $$F(x) = \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d}y$$ 再對$x$積分，得到 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b F(x) \mathrm{d}x.$$ 同樣我們也可對$y$型區域進行類似計算。

坐標變換

有時候使用直角形式的假設$\mathrm{d}\sigma = \mathrm{d}x \mathrm{d}y$計算$f(x, y)$是不方便甚至用初等方法求不出積分，因此我們可以考慮做變量代換。在二維情形下，設有可逆的連續坐標變換$\boldsymbol{T} (x, y) = (u, v)$，這也就是說存在具有連續導數的二元實函數$x = x(u, v), y = y(u, v)$，使得 Jacobi 行列式$J = \dfrac{D(x, y)}{D(u, v)} \ne 0.$同時二元可逆映射$\boldsymbol{T}$將區域$D = \{ (x, y) \}$映作$D' = \{ (u, v) \}.$

這樣，我們有$\mathrm{d} x \mathrm{d}y = |J| \mathrm{d}u \mathrm{d}v$，進而 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) |J| \mathrm{d}u \mathrm{d}v.$$ 在有一些圓對稱性或球對稱性的場合下，我們做極坐標變換是比較容易解決問題的，這也就是說 $$\begin{cases} x = r \cos \theta, \\ y = r \sin \theta, \end{cases} \qquad r > 0, \quad \theta \in [0, 2 \pi).$$ 它的 Jacobi 行列式$J = \dfrac{D(x, y)}{D(u, v)} = r$。這樣 $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta.$$

上下節

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參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.