二重积分是多元积分中重积分的一种,是微积分学的一个基本而又重要的积分,在概率论中有重要应用。它有很直观的一个几何意义——空间中曲顶柱体的体积。
概念[]
设有一个有有限面积的的平面
,在其上定义了一个二元函数
将
分为若干部分
使其满足
且
,记
(所有分割部分的直径的最大值,也叫分割的模),在
中任取一点
,作下述积分和式

如果上述和式在

时对任意的分割方法和任意的

都有唯一的有限值,我们就说函数

在

上 Riemann 可积,积分和式的极限叫作

在

上的
定积分(Riemann 积分),记作

特别地,在直角坐标系中,通常假设

,于是上式可写为

可以证明,若

是

上的
连续函数,那么它必定可积。
化作二次积分[]
定理:若
在矩形闭域
上可积,且含参变量的积分
在
上收敛,那么

同样对称地,若

在
![{\displaystyle y\in [c,d]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/361a8dd9e097fc9e9c6b004d3c634716d7f11620)
上收敛,那么

计算有关二重积分时可灵活选取上述一种,有时另一种可能不易或无法求出定积分。
如果积分区域是一个
型区域
,那么积分

即该二重积分的计算先对

进行,此时将

视作常数,然后得到

再对

积分,得到

同样我们也可对

型区域进行类似计算。
坐标变换[]
有时候使用直角形式的假设
计算
是不方便甚至用初等方法求不出积分,因此我们可以考虑做变量代换。在二维情形下,设有可逆的连续坐标变换
,这也就是说存在具有连续导数的二元实函数
,使得 Jacobi 行列式
同时二元可逆映射
将区域
映作
这样,我们有
,进而

在有一些圆对称性或球对称性的场合下,我们做极坐标变换是比较容易解决问题的,这也就是说

它的 Jacobi 行列式

。这样

上下节[]
参考资料