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二重积分多元积分重积分的一种,是微积分学的一个基本而又重要的积分,在概率论中有重要应用。它有很直观的一个几何意义——空间中曲顶柱体的体积。

概念[]

设有一个有有限面积的的平面,在其上定义了一个二元函数分为若干部分使其满足,记(所有分割部分的直径的最大值,也叫分割的模),在中任取一点,作下述积分和式

如果上述和式在时对任意的分割方法和任意的都有唯一的有限值,我们就说函数上 Riemann 可积,积分和式的极限叫作上的定积分(Riemann 积分),记作
特别地,在直角坐标系中,通常假设,于是上式可写为
可以证明,若上的连续函数,那么它必定可积。

化作二次积分[]

定理:若在矩形闭域上可积,且含参变量的积分上收敛,那么

同样对称地,若上收敛,那么
计算有关二重积分时可灵活选取上述一种,有时另一种可能不易或无法求出定积分。

如果积分区域是一个型区域,那么积分

即该二重积分的计算先对进行,此时将视作常数,然后得到
再对积分,得到
同样我们也可对型区域进行类似计算。

坐标变换[]

有时候使用直角形式的假设计算是不方便甚至用初等方法求不出积分,因此我们可以考虑做变量代换。在二维情形下,设有可逆的连续坐标变换,这也就是说存在具有连续导数的二元实函数,使得 Jacobi 行列式同时二元可逆映射将区域映作

这样,我们有,进而

在有一些圆对称性或球对称性的场合下,我们做极坐标变换是比较容易解决问题的,这也就是说
它的 Jacobi 行列式。这样

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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