二重外积

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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在解析几何中，二重外积是向量的一个三元代数运算。

二重外积公式

设有向量$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，我们称$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$为二重外积，该向量位于$\vec{a}, \vec{b}$所确定的平面内，实际上有如下二重外积公式： $$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{c} \cdot \vec{a}) \vec{b} - (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a}.$$ 由此亦可得 $$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}.$$

这个运算不具备结合性，即通常$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \ne \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$

Jacobi 等式

对于任意向量$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，总成立如下等式 $$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{0}.$$

三重外积

三重外积是一个四元代数运算，由于二重外积没有结合性，因此有两种形式的三重外积。

第一类

设几何空间中有四个向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$，则有如下公式计算第一类（非对称）的三重外积 $$\vec{a} \times [\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d})] = (\vec{b} \cdot \vec{d}) (\vec{a} \times \vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{c}) (\vec{a} \times \vec{d}).$$

第二类

设几何空间中有四个向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$，则有如下公式计算第二类（对称）的三重外积 $$\begin{align} (\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} \times \vec{d}) & = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}) \vec{c} - (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \vec{d} \\ & = (\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}) \vec{b} - (\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}) \vec{a}. \end{align}$$

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