二次锥面

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二次锥面（Quadric Cone），是二次曲面的第Ⅰ类曲面的一种，也是锥面的一种，它的特例是圆锥面。

标准方程

二次锥面的标准方程是 $$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$$ 其中，$a, b, c > 0$是该二次锥面的轴参数。

性质

以下均在二次锥面的标准方程中讨论。

• 对称性：二次锥面是中心二次曲面，它的对称中心是原点$(0, 0, 0)^\text{T}$，对称直线是三个坐标轴，对称平面是三个坐标平面。
• 截面：平行于$xOy$平面的直线截二次锥面所得的曲线是椭圆或一点，平行于$yOz, xOz$平面截二次锥面所得的曲线是双曲线或一对相交直线。
• 锥面的性质：原点是它的顶点，锥面上过原点的任意一条直线（实际上就是以渐近方向为方向且经过原点的直线）都可作为它的母线，它的准线形状也不定，可以取$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{h^2}{c^2}, h \ne 0.$
• 直母线：二次锥面是直纹面，直母线方程是
  $\qquad\begin{cases} x = at \sin{\theta}, \\ y = bt \cos{\theta}, \\ z = ct. \end{cases}$

方程特点

二次曲面的一般方程是 $$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。 当是它是二次锥面时有$I_2 \leqslant 0,\quad I_4 = 0.$

• 特征根：二次锥面的特征根的符号差为$\pm 1$，标准方程下的特征根是$\dfrac{1}{a^2}, \dfrac{1}{b^2}, -\dfrac{1}{c^2}$；
• 主方向：二次锥面的三个主方向都是非奇异的，标准方程下的主方向是三个坐标轴；
• 渐近方向：二次锥面的渐近方向都在自身的锥面上；
• 中心：$r = R = 3$，二次锥面是中心二次曲面，标准方程下的中心是原点；
• 主径面：二次锥面有三个主径面，标准方程下的主径面是三个坐标平面。

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