二次曲面的化简

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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这里通过特征根以及配方的方法对二次曲面的方程进行化简。

二次曲面的一般方程是 $$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。

作记号：上述曲面方程的矩阵以及二次项对应的矩阵分别记为$A$以及$A_1$。

转轴

由于对称矩阵一定可以（相似）对角化，且施加的变换是正交变换，矩阵$A_1$经过对角化得到$A'_1$，使得$T^{-1} A_1 T$是对角矩阵的正交矩阵$T$就称作转轴施加的转轴矩阵对角矩阵上的元素是该二次曲面的特征根，记作$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$。因此$\varphi(x, y, z)$总可化为$\varphi'(x', y', z') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2$的形式（这一步是消去交叉项的过程，叫做转轴）。

移轴

经过转轴变换，原二次曲面化简为 $$F'(x', y', z') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + 2a'_1 x' + 2a'_2 y' + 2a'_3 z' + a'_0 = 0.$$ 继续通过配方法并分$\lambda_i = 0, i=1,2,3$的情况讨论：

1. （$\operatorname{rank} A_1 = 3$）$\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ne 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + \lambda_2 (y' - \dfrac{a'_2}{\lambda_2})^2 + \lambda_3 (z' - \dfrac{a'_3}{\lambda_3})^2 + (a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} - \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2} - \dfrac{{a'_3}^2}{\lambda_3}) = 0.$$ 设$a''_0 = - a'_0 + \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} + \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2} + \dfrac{{a'_3}^2}{\lambda_3}$，作移轴变换即有 $$\lambda_1 x''^2 + \lambda_2 y''^2 + \lambda_3 z''^2 = a''_0.$$ 如果$a''_0 \ne 0$，设$a = \dfrac{a''_0}{\lambda_1}, b = \dfrac{a''_0}{\lambda_2}, c = \dfrac{a''_0}{\lambda_3}$，于是方程化简为 $$\dfrac{x''^2}{a} + \dfrac{y''^2}{b} + \dfrac{z''^2}{c} = 1.$$

• 当$a,b,c$全正时代表椭球面；
• 当$a,b,c$两正一负时代表单叶双曲面；
• 当$a,b,c$两负一正时代表双叶双曲面；
• 当$a,b,c$全负时代表虚椭球面。

如果$a''_0 = 0$，

• 当$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$全正或全负时代表一个点；
• 当$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$两正一负或两负一正时代表二次锥面。

2. （$\operatorname{rank} A_1 = 2$）$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$中有一个为零，不妨设$\lambda_3 = 0$，若$a'_3 \ne 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + \lambda_2 (y' - \dfrac{a'_2}{\lambda_2})^2 + 2a'_3 (z' + \dfrac{a'_0}{2a'_3} + \dfrac{{a'_1}^2}{2\lambda_1 a'_3} - \dfrac{{a'_2}^2}{2\lambda_2 a'_3}) = 0.$$ 作移轴变换即有 $$\lambda_1 x''^2 + \lambda_2 y''^2 + 2a'_3 z'' = 0.$$

• 当$\lambda_1, \lambda_2$同号时代表椭圆抛物面；
• 当$\lambda_1, \lambda_2$异号时代表双曲抛物面。

若$a'_3 = 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + \lambda_2 (y' - \dfrac{a'_2}{\lambda_2})^2 + (a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} - \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2}) = 0.$$ 设$a''_0 = a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} - \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2}$，作移轴变换即有 $$\lambda_1 x''^2 + \lambda_2 y''^2 + a''_0 = 0.$$

• 当$\lambda_1, \lambda_2$同号，但与$a''_0$异号时，代表椭圆柱面；
• 当$\lambda_1, \lambda_2, a''_0$同号时，代表虚椭圆柱面；
• 当$\lambda_1, \lambda_2$异号，$a''_0 = 0$时，代表双曲柱面；
• 当$\lambda_1, \lambda_2$异号，$a''_0 \ne 0$时，代表一对相交平面；
• 当$\lambda_1, \lambda_2$同号，$a''_0 = 0$时，代表一对虚相交平面；

3. （$\operatorname{rank} A_1 = 1$）$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$中有两个为零，不妨设$\lambda_2 = \lambda_3 = 0$，通过配方，有 $$\lambda _{1}(x'-{\dfrac {a'_{1}}{\lambda _{1}}})^{2}+2a'_{2}y'+2a'_{3}z'+a'_{0}+{\dfrac {{a'_{1}}^{2}}{\lambda _{1}}}=0.$$ 若$a'_2, a'_3$中有一个非零，作变换$\begin{cases} x'' = x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1} \\ y'' = \dfrac{2\lambda_1 a'_2 y' + 2\lambda_1 a'_3 z' + \lambda_1 a'_0 + {a'_1}^2}{2\lambda_1\sqrt{{a'_2}^2 + {a'_3}^2}} \\ z'' = \dfrac{a'_2 z' - a'_3 y' + a''_0}{\sqrt{{a'_2}^2 + {a'_3}^2}} \\ \end{cases}$

• 因此式#A1化为了$\lambda_1 x''^2 + 2 \sqrt{{a'_2}^2 + {a'_3}^2} y'' = 0$，代表抛物柱面。

若$a'_2 = a'_3 = 0$，设$a''_0 = - a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1}$，作移轴变换，有 $$\lambda_1 x'' = a''_0.$$

• 当$\lambda_1, a''_0$同号时，代表一对平行平面；
• 当$\lambda_1, a''_0$异号时，代表一对虚平行平面；
• 当$a''_0 = 0$时，代表一对重合平面。

以上，我们就将二次曲线方程通过正交配方的方法进行了化简，将所有的二次曲面按照形状分为了17种。

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