二次曲面的中心

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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二次曲面的中心是确定二次曲面位置的基础。二次曲面的一般方程是 $$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。

中心方程组

如果一个点$C$是二次曲面$F(x, y, z) = 0$的对称中心，它必然是所有通过它的二次曲面的弦的中点，一个二次曲面的中心点坐标必然满足如下方程组 $$\begin{cases} F_1(x, y, z) & = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_1 & = 0 \\ F_2(x, y, z) & = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_2 & = 0 \\ F_3(x, y, z) & = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_3 & = 0 \\ \end{cases}$$ 这个方程组叫做该二次曲面的中心方程组。

上述方程组是一个三元线性方程组，设其系数矩阵以及增广矩阵的秩分别为$r,R$，由其解存在的条件得

1. 当$r = 3$时，方程组有唯一解，曲面有唯一中心，称为中心二次曲面；
2. 当$r = R = 2$时，方程组基础解系的维数是一维，曲面的中心组成一条直线，称为线心二次曲面；
3. 当$r = R = 1$时，方程组基础解系的维数是二维，曲面的中心组成一个平面，称为面心二次曲面；
4. 当$r \ne R$时，方程组无解，曲面无中心，称为无心二次曲面。

线心二次曲面、面心二次曲面和无心二次曲面称为非中心二次曲面。

二次曲面分类

按照二次曲面的中心，可以将其分为

1. 第Ⅰ类曲面（椭球面、点、虚椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面和二次锥面）有一个中心，是中心二次曲面；
2. 椭圆抛物面和双曲抛物面是$r = 2$的无心二次曲面；
3. 椭圆柱面、虚椭圆柱面、直线、双曲柱面和一对相交平面是线心二次曲面；
4. 抛物柱面是$r=1$的无心二次曲面；
5. 一对平行平面、一对虚平行平面和一对重合平面是面心二次曲面。

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