二次曲面的不变量

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

对二次曲面方程的研究，还可通过不变量与半不变量进行。以下总设二次曲面的方程为 $F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$ 其中 $a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$ 不全为零。

定义

设有关于二次曲面 $F(x, y, z)$ 系数组成的非常数函数 $f(a_{11}, \cdots, a_0)$ ，当 $F(x, y, z)$ 经由任意一个第一类正交变换到 $F'(x', y', z')$ 时恒有 $f(a_{11}, \cdots, a_0) = f(a'_{11}, \cdots, a'_0)$ ，我们就称这个函数 $f(a_{11}, \cdots, a_0)$ 为二次曲面的不变量，如果仅在转轴下有 $f(a_{11}, \cdots, a_0) = f(a'_{11}, \cdot, a'_0)$ 但移轴下没有，就称这个函数为二次曲面的半不变量。

不变量与半不变量

设 $I_1, I_2, I_3$ 分别是 $A_1$ 的 $1,2,3$ 阶所有主子式之和， $K_1 + I_2, K_2 + I_3, I_4$ 分别是 $A$ 的 $2,3,4$ 阶所有主子式之和，即 ${\displaystyle \begin{align} I_1 & = a_{11} + a_{22} + a_{33} = \operatorname{tr} A_1 \\ I_2 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ I_3 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = |A_1| \\ I_4 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_0 \end{vmatrix} = |A| \\ K_1 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{33} & a_{3} \\ a_{3} & a_{0} \end{vmatrix} \\ K_2 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a_{0} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} & a_{1} \\ a_{31} & a_{33} & a_{3} \\ a_{1} & a_{3} & a_{0} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{2} \\ a_{32} & a_{33} & a_{3} \\ a_{2} & a_{3} & a_{0} \end{vmatrix} \end{align}}$ 我们可以证明，二次曲面在第一类正交变换下有四个不变量 $I_1, I_2, I_3, I_4$ 以及两个半不变量 $K_1, K_2.$

且 $K_1$ 是第Ⅴ类曲线的不变量， $K_2$ 是第Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ类曲线的不变量。

对于不变量 $I_1, I_2, I_3$ ，它们和特征根的关系是 ${\displaystyle \begin{align} I_1 & = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3, \\ I_2 & = \lambda_1 \lambda_2 + \lambda_2 \lambda_3 + \lambda_1 \lambda_3, \\ I_3 & = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3, \\ \end{align}}$ 二次曲面的特征方程 $|\lambda E - A_1| = \lambda^3 - I_1 \lambda_2 + I_2 \lambda - I_3 = 0.$

对二次曲面进行分类

我们可以依照不变量与半不变量对二次曲面的类型进行分类，其依据是正交配方法化简二次曲面，下表列出了曲面的种类以及其不变量与半不变量的充要条件。

类型	条件	简化方程
第Ⅰ类曲面	$I_3 \ne 0$	$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + \dfrac{I_4}{I_3} = 0$
第Ⅱ类曲面	$I_3 = 0, I_4 \ne 0$	$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 \pm 2 \sqrt{-\dfrac{I_4}{I_2}}z' = 0$
第Ⅲ类曲面	$I_3 = I_4 = 0, I_2 \ne 0$	$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \dfrac{K_2}{I_2} = 0$
第Ⅳ类曲面	$I_3 = I_4 = I_2 = 0, K_2 \ne 0$	$\lambda_1 x'^2 \pm 2 \sqrt{-\dfrac{K_2}{I_1}}y' = 0$
第Ⅴ类曲面	$I_3 = I_4 = I_2 = K_2 = 0$	$I_1 x'^2 + \dfrac{K_1}{I_1} = 0$