二次曲面和直线的位置关系

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通过二次曲面的不变量与半不变量可以确定二次曲面的形状，但是难以确定其位置，但我们知道，很多二次曲面都有一些性质，诸如对称性、对称中心、渐近面等，我们可以利用它们的这些性质来确定其位置。

二次曲面和直线的位置关系

设有二次曲面$$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。

设直线$l$经过定点$M(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$且方向向量是$\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$，则其参数方程是$\begin{cases} x = x_0 + tX, \\ y = y_0 + tY, \\ z = z_0 + tZ, \end{cases} \quad t \in \R$，将该参数方程带入二次曲面方程中，有$$\varphi(X, Y, Z) t^2 + 2( XF_1(x_0, y_0, z_0) + YF_2(x_0, y_0, z_0) + ZF_3(x_0, y_0, z_0)) t + F(x_0, y_0, z_0) = 0$$ 分类讨论： 当$\varphi(X, Y, Z) \ne 0$时，该方程是一个二次方程，设$\Delta := 4( XF_1(x_0, y_0, z_0) + YF_2(x_0, y_0, z_0) + ZF_3(x_0, y_0, z_0))^2 - 4\varphi(X, Y, Z)F(x_0, y_0, z_0).$

1. 若$\Delta > 0$，方程有两个不等实根，二次曲面与直线交于不同两点；
2. 若$\Delta = 0$，方程有两个相等实根，二次曲面与直线交于重合的两点；
3. 若$\Delta < 0$，方程有两个共轭虚根，二次曲面与直线没有交点。

当$\varphi(X, Y, Z) = 0$时，

1. 若$XF_1(x_0, y_0, z_0) + YF_2(x_0, y_0, z_0) + ZF_3(x_0, y_0, z_0) \ne 0$，二次曲面与直线交于一点；
2. 若$XF_1(x_0, y_0, z_0) + YF_2(x_0, y_0, z_0) + ZF_3(x_0, y_0, z_0) = 0$但$F(x_0, y_0, z_0) \ne 0$，二次曲面与直线没有交点；
3. 若$XF_1(x_0, y_0, z_0) + YF_2(x_0, y_0, z_0) + ZF_3(x_0, y_0, z_0) = F(x_0, y_0, z_0) = 0$，二次曲面与直线有无穷多个交点，这时直线在曲面上。

二次曲面的渐近方向

事实上，上述方程二次项系数$\varphi(X, Y, Z)$有着特殊的意义，当$\varphi(X, Y, Z) = 0$时方程（至多）为一次方程，有可能出现线在曲面上的这一特殊情形，我们将使得$\varphi(X, Y, Z) = 0$的方向$\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$称为这个二次曲面的渐近方向，否则称为非渐近方向。

1. $\varphi(x, y, z)$是一个三元二次型，当它正（负）定（椭球面，一点，虚椭球面）的时候不可能为零，因此这三种曲面没有渐近方向；
2. 单叶双曲面和双叶双曲面的所有渐近方向都在一个锥面上，这个锥面就是它们的渐近锥面，二次锥面的所有渐近方向也都在自己锥面上；
3. 椭圆抛物面、椭圆柱面、虚椭圆柱面、直线：这四种都有一个渐近方向，在二次项系数相同时它们的渐近方向是最后一个直线的渐近方向；
4. 双曲抛物面、双曲柱面以及一对相交平面：在二次项系数相同时这三种的渐近方向都位于一对相交平面上；
5. 抛物柱面、一对平行平面、一对虚平行平面、一对重合平面：在二次项系数相同时这四种曲面的渐近方向都位于最后一个一对重合平面上。

由上，没有一种曲面的渐近方向覆盖整个空间，因此二次曲面一定有非渐近方向。

二次曲面的切线

设有二次曲面$F(x, y, z) = 0$以及直线$l$（定点$M(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$且方向向量是$\vec{v} = (X, Y, Z)^\text{T}$），如果有如下情形之一成立，就称直线$l$是二次曲面$F(x, y, z) = 0$的切线：

1. 直线与二次曲面交于重合的两点，此时有$\varphi(X, Y, Z) \ne 0, \Delta = 0;$
2. 直线全在二次曲面上，此时有$\varphi(X, Y, Z) = 0, \Delta = 0.$

不管上述哪种情形，总有$\Delta = 0$，进一步可以证明$\Delta = 0$是直线$l$与二次曲面$F(x, y, z) = 0$相切的充要条件，我们称直线与曲面的交点为切点。

二次曲面在一点处的所有切线构成的平面，叫做二次曲面在这一点处的切面。

二次曲面的奇点

二次曲面的奇点是讨论曲面切面唯一性的问题中提出的，我们称在曲面上满足 $$F_1(x_0, y_0, z_0) = F_2(x_0, y_0, z_0) = F_3(x_0, y_0, z_0) = 0$$ 的点$(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$为二次曲面的奇点，反之称为非奇点。

1. 如果$(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$是二次曲面的奇点，那么通过这一点的任何一条直线都是二次曲面的切线，过该点的切面不唯一（充满整个空间）。
2. 如果$(x_0, y_0, z_0)^\text{T}$是二次曲面的非奇点，那么曲面在这一点有唯一的切面，它是$$(x - x_0) F_1(x_0, y_0, z_0) + (y - y_0) F_2(x_0, y_0, z_0) + (z - z_0) F_3(x_0, y_0, z_0) = 0$$或写为$$\begin{align} & a_{11} x_0 x + a_{22} y_0 y + a_{33} z_0 z + a_{12} (x_0 y + y_0 x) + a_{13} (x_0 z + z_0 x) + a_{23} (y_0 z + z_0 y) \\ \quad & + a_1 (x + x_0) + a_2 (y + y_0) + a_3 (z + z_0) + a_0 = 0. \end{align}$$

二次曲面的弦

如果直线$l$的方向是曲面$F(x, y, z) = 0$的非渐近方向，且直线和曲面交于两点$A, B$，那么线段$AB$就称作直线$l$交曲面$F(x, y, z) = 0$所得的弦。

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