二次曲面

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

---

在解析几何中，二次曲面是指空间中曲面方程是二次式的曲面，它一共有17种（包括退化情形）。

一般方程

二次曲面的一般方程是

$$F(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz + 2a_1 x + 2a_2 y + 2a_3 z + a_0 = 0$$

其中$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}$不全为零。方程的二次项部分记作$\varphi(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz$，这是一个三元二次型，它所对应的矩阵常记为$A_1 = (a_{ij})_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$。

原二次曲面方程可以形式的写作如下矩阵方程

$$(x, y, z, 1) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = 0$$

其中，对称矩阵$A = (a_{ij})_{4 \times 4}$叫做这个曲面方程的矩阵，它是唯一确定的。一次项部分之半常记作这样一个列向量：$\delta = (a_1, a_2, a_3)^\text{T}.$ 因此曲面的矩阵也可写作如下分块矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} A_1 & \delta \\ \delta^\text{T} & a_0 \\ \end{pmatrix}$$

二次曲面的方程中还有以下记号：

$$\begin{align} F_1(x, y, z) & = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_1 \\ F_2(x, y, z) & = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_2 \\ F_3(x, y, z) & = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_3 \\ F_4(x, y, z) & = a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z + a_0 \\ \varphi(x, y, z) & = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz \\ \varphi_1(x, y, z) & = a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z \\ \varphi_2(x, y, z) & = a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z \\ \varphi_3(x, y, z) & = a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z \\ \varphi_4(x, y, z) & = a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z \\ \end{align}$$

有

$$\begin{align} F(x, y, z) & = x F_1(x, y, z) + y F_2(x, y, z) + z F_3(x, y, z) + F_4(x, y, z) \\ \varphi(x, y, z) & = x \varphi_1(x, y, z) + y \varphi_2(x, y, z) + z \varphi_3(x, y, z) \\ \end{align}$$

方程的化简

详见二次曲面的化简。

转轴

对称矩阵一定可以（相似）对角化，且施加的变换是正交变换，矩阵$A_1$经过对角化得到$A'_1$。由二次型理论，$\varphi(x, y, z)$总可化为$\varphi'(x', y', z') = a'_{11} x'^2 + a'_{22} y'^2 + a'_{33} z'^2$的形式（这一步是消去交叉项的过程，叫做转轴），使得对称矩阵$T^{-1} A_1 T$成立的正交矩阵$T$就称作转轴施加的转轴矩阵，它对应着几何空间中的坐标轴的旋转。

移轴

经过转轴变换，原二次曲面化简为

$$F'(x', y', z') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + 2a'_1 x' + 2a'_2 y' + 2a'_3 z' + a'_0 = 0.$$

继续通过配方法并分$\lambda_i, i=1,2,3$和0的关系的的情况讨论，就可最终化简出曲面方程。

二次曲面的主方向

利用特征方程$|\lambda E - A_1| = 0$求出的特征根也叫做二次曲面的特征根，在实数范围内，该三次方程一定有三个根（因为$A_1$是对称矩阵），$A_1$的对应于$\lambda_i, i=1,2,3$的特征向量$\vec{X_i}, i=1,2,3$的方向称为该曲面对应于特征根$\lambda_i$的主方向。

如果有一个零特征根$\lambda=0$，那么就称这个特征根对应的主方向是奇异的，否则就称为非奇异的。二次曲面的特征根不可能全为零，因此该曲面必有一个非奇异主方向。

二次曲面三个特征根所对的主方向总可以化为彼此正交的向量。如果曲面的三个特征根互异，那么该二次曲面的三个主方向已经两两正交了；如果$\lambda_1 = \lambda_2 \ne \lambda_3$，且$\vec{X_1}, \vec{X_3}$是该曲面的主方向，那么$\vec{X_1} \times \vec{X_3}$是$\lambda_2$对应的主方向；如果$\lambda = \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3$，由于$T^{-1} (\lambda E) T = \lambda E$，和数量矩阵正交相似的矩阵只能是数量矩阵，因此不用转轴操作（这种情况下原曲面方程中已不含交叉项）。

满足方程

$$\varphi(x, y, z) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + a_{33} z^2 + 2a_{12} xy + 2a_{13} xz + 2a_{23} yz = 0$$

的方向$\vec{v} = (x, y, z)^\text{T}$称为这个二次曲面的渐进方向。

二次曲面种类

类型	名称	图像	方程
椭球面	椭球面		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
	点	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 0$
	虚椭球面	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = -1$
双曲面	单叶双曲面		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 1$
	双叶双曲面		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = -1$
抛物面	椭圆抛物面		$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 2z$
	双曲抛物面		$\dfrac{x^2}{p} - \dfrac{y^2}{q} = 2z$
二次锥面	二次锥面		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{z^2}{c^2} = 0$
二次柱面	椭圆柱面		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
	虚椭圆柱面	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = -1$
	直线	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 0$
	双曲柱面		$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
	一对相交平面		$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$
	抛物柱面		$x^2 = 2py$
	一对平行平面		$\dfrac{x^2}{a^2} = 1$
	一对虚平行平面	\	$\dfrac{x^2}{a^2} = -1$
	一对重合平面	\	$x^2 = 0$

←上一节
锥面

下一节→
二次曲面的化简