二次曲线的直径

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在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

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在解析几何中，二次曲线的平行弦的中点轨迹是这个曲线的直径。

二次曲线的直径

设有二次曲线 $$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零。 设该二次曲线有一族方向为$(X, Y)^\text{T}$的平行弦，这族弦的中点的轨迹是一个平面，称作二次曲线的直径，它的方程是 $$X F_1(x, y) + Y F_2(x, y) = 0$$ 或 $$\varphi_1(X, Y) x + \varphi_2(X, Y) y + \varphi_3(X, Y) = 0$$ 这族平行弦叫做这个直径的共轭弦，方向$(X, Y)^\text{T}$叫做直径的共轭方向。

性质

1. 二次曲线的中心（如果存在）在它的所有直径上。因此，线心二次曲线的直径是且仅是中心直线。
2. 二次曲线如果存在非奇异主方向（即非中心二次曲线）$(X_0, Y_0)^\text{T}$（它是零特征根所对应的主方向），那么这个方向也是该二次曲线所有直径的方向。

二次曲线的对称轴

如果二次曲线的直径垂直于它所对应的共轭方向，那么就称这个直径是二次曲线的对称轴。

对称轴所对应的共轭方向或者奇向，统称为二次曲线的主方向，可以证明，这里定义的主方向就是二次曲线的特征根对应的特征向量（主方向）。

因此，涉及到对称轴以及主方向问题的时候，可以转化为求特征方程 $$|\lambda E - A_1| = \lambda^2 - I_1 \lambda + I_2 = 0$$ 的根的问题。

由于$\operatorname{rank} A_1 \ne 0$，二次曲线的特征根就不可能全为零，所以二次曲线的非奇异主方向总是存在的，进而二次曲线总有对称轴。

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