二次曲线的化简

欢迎来到解析几何的平面几何部分！
在这里你将了解到有关平面曲线以及相关位置关系的相关知识，希望你能收获更多！

---

这里通过特征根以及配方的方法对二次曲线的方程进行化简。

二次曲线的一般方程是 $$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零。

作记号：上述曲面方程的矩阵以及二次项对应的矩阵分别记为$A$以及$A_1$。

转轴

由于对称矩阵一定可以（相似）对角化，且施加的变换是正交变换，矩阵$A_1$经过对角化得到$A'_1$，使得$T^{-1} A_1 T$是对角矩阵的正交矩阵$T$就称作转轴施加的转轴矩阵对角矩阵上的元素是该二次曲线的特征根，记作$\lambda_1, \lambda_2$。因此$\varphi(x, y)$总可化为$\varphi'(x', y', z') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2$的形式（这一步是消去交叉项的过程，叫做转轴）。

移轴

经过转轴变换，原二次曲线化简为 $$F'(x', y') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + 2a'_1 x' + 2a'_2 y' + a'_0 = 0.$$ 继续通过配方法并分$\lambda_i = 0, i=1,2$的情况讨论：

1. （$\operatorname{rank} A_1 = 2$）$\lambda_1 \lambda_2 \ne 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + \lambda_2 (y' - \dfrac{a'_2}{\lambda_2})^2 + (a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} - \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2}) = 0.$$ 设$a''_0 = - a'_0 + \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1} + \dfrac{{a'_2}^2}{\lambda_2}$，作移轴变换即有 $$\lambda_1 x''^2 + \lambda_2 y''^2 = a''_0.$$ 如果$a''_0 \ne 0$，设$a = \dfrac{a''_0}{\lambda_1}, b = \dfrac{a''_0}{\lambda_2}$，于是方程化简为 $$\dfrac{x''^2}{a} + \dfrac{y''^2}{b} = 1.$$

• 当$a, b$全正时代表椭圆；
• 当$a, b$一正一负时代表双曲线；
• 当$a, b$两负时代表虚椭圆。

如果$a''_0 = 0$，

• 当$\lambda_1, \lambda_2$同号时代表一个点；
• 当$\lambda_1, \lambda_2$异号时代表一对相交直线。

2. （$\operatorname{rank} A_1 = 1$）$\lambda_1, \lambda_2$中有一个为零，不妨设$\lambda_2 = 0$，若$a'_2 \ne 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + 2a'_2 (y' + \dfrac{a'_0}{2a'_2} + \dfrac{{a'_1}^2}{2\lambda_1 a'_2}) = 0.$$ 作移轴变换即有 $$\lambda_1 x''^2 + 2a'_2 y'' = 0.$$

• 代表抛物线。

若$a'_2 = 0$，通过配方，有 $$\lambda_1 (x' - \dfrac{a'_1}{\lambda_1})^2 + (a'_0 - \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1}) = 0.$$ 设$a''_0 = - a'_0 + \dfrac{{a'_1}^2}{\lambda_1}$，作移轴变换即有 $$x''^2 = \dfrac{a''_0}{\lambda_1}.$$

• 当$\lambda_1, a''_0$同号时，代表一对平行直线；
• 当$a''_0 = 0$时，代表一对重合直线；
• 当$\lambda_1, a''_0$异号时，代表一对虚平行直线。

以上，我们就将二次曲线方程通过正交配方的方法进行了化简，将所有的二次曲线按照形状分为了9种。

←上一节
二次曲线

下一节→
二次曲线的不变量