二次曲线的中心

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二次曲线的中心是确定二次曲线位置的基础。二次曲线的一般方程是 $$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零。

中心方程组

如果一个点$C$是二次曲线$F(x, y) = 0$的对称中心，它必然是所有通过它的二次曲线的弦的中点，一个二次曲线的中心点坐标必然满足如下方程组 $$\begin{cases} F_1(x, y) & = a_{11}x + a_{12}y + a_1 & = 0 \\ F_2(x, y) & = a_{21}x + a_{22}y + a_2 & = 0 \\ \end{cases}$$ 这个方程组叫做该二次曲线的中心方程组。

上述方程组是一个二元线性方程组，设其系数矩阵以及增广矩阵的秩分别为$r,R$，由其解存在的条件得

1. 当$r = 2$时，方程组有唯一解，曲面有唯一中心，称为中心二次曲线；
2. 当$r = R = 1$时，方程组基础解系的维数是一维，曲面的中心组成一条直线，称为线心二次曲线；
3. 当$r \ne R$时，方程组无解，曲面无中心，称为无心二次曲线。

线心二次曲线和无心二次曲线称为非中心二次曲线。

二次曲线分类

按照二次曲线的中心，可以将其分为

1. 椭圆、点、虚椭圆、双曲线、一对相交直线有一个中心，是中心二次曲线；
2. 抛物线是无心二次曲线；
3. 一对平行直线、一对虚平行直线、一对重合直线是线心二次曲线。

不变量

定义（参见二次曲线的不变量）$${\begin{aligned}I_{2}&={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.\\I_{3}&={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{2}\\a_{1}&a_{2}&a_{0}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$$那么我们根据线性方程组解的结构的性质以及半不变量$K_1, K_2$的性质有

1. $F(x, y)$是中心型曲线当且仅当$I_{2}\neq 0$，且中心在原点当且仅当$a_1 = a_2 = 0$（即不用移轴）。
2. $F(x, y)$是线心型二次曲线当且仅当$I_2 = I_3 = 0$，所有中心组成的直线就是$F_{1}(x,y)=F_{2}(x,y)=0.$
3. $F(x, y)$没有对称中心当且仅当$I_{2}=0,I_{3}\neq 0$。

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