二次曲线的不变量

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对二次曲线方程的研究，还可通过不变量与半不变量进行。以下总设二次曲线的方程为 $$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零。

定义

设有关于二次曲线$F(x, y)$系数组成的非常数函数$f(a_{11}, \cdots, a_0)$，当$F(x, y)$经由任意一个第一类正交变换到$F'(x', y')$时恒有$f(a_{11}, \cdots, a_0) = f(a'_{11}, \cdots, a'_0)$，我们就称这个函数$f(a_{11}, \cdots, a_0)$为二次曲线的不变量，如果仅在转轴下有$f(a_{11}, \cdots, a_0) = f(a'_{11}, \cdot, a'_0)$但移轴下没有，就称这个函数为二次曲线的半不变量。

不变量与半不变量

设$I_1, I_2$分别是$A_1$的$1,2$阶所有主子式之和，$K_1 + I_2, I_3$是$A$的$2$阶所有主子式之和，即 $$\begin{align} I_1 & = a_{11} + a_{22} = \operatorname{tr} A_1 \\ I_2 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = |A_1| \\ I_3 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2} \\ a_{1} & a_{2} & a_{0} \end{vmatrix} = |A| \\ K_1 & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0} \end{vmatrix} \\ \end{align}$$ 我们可以证明，二次曲线在第一类正交变换下有三个不变量$I_1, I_2, I_3$以及一个半不变量$K_1.$

且$K_1$是转轴下的不变量，且是$I_2 = I_3 = 0$的曲线的不变量。

对于不变量$I_1, I_2$，它们和特征根的关系是 $$\begin{align} I_1 & = \lambda_1 + \lambda_2, \\ I_2 & = \lambda_1 \lambda_2, \\ \end{align}$$ 二次曲线的特征方程 $$|\lambda E - A_1| = \lambda^2 - I_1 \lambda + I_2 = 0.$$

对二次曲线进行分类

我们可以依照不变量与半不变量对二次曲线的类型进行分类，其依据是正交配方法化简二次曲线，下表列出了曲面的种类以及其不变量与半不变量的充要条件。

类型		条件	简化方程	备注
椭圆型 $I_2 > 0$	椭圆	$I_1 I_3 < 0$	$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \dfrac{I_3}{I_2} = 0$	椭圆为圆当且仅当$I_{1}^{2}=4I_{2}$
	点	$I_3 = 0$
	虚椭圆	$I_1 I_3 > 0$
双曲型 $I_2 < 0$	双曲线	$I_3 \ne 0$		双曲线等轴当且仅当$I_{1}=0$
	一对相交直线	$I_3 = 0$		两直线垂直当且仅当$I_{1}=0$
抛物型 $I_2 = 0$	抛物线	$I_3 \ne 0$	$\lambda_1 x'^2 \pm 2 \sqrt{\dfrac{-I_3}{I_1}} y = 0$
	一对平行直线	$I_3 = 0, K_1 < 0$	$I_1 x^2 + \dfrac{K_1}{I_1} = 0$	两直线之间的距离为${\dfrac {\sqrt {-K_{1}}}{I_{1}}}$
	一对虚平行直线	$I_3 = 0, K_1 > 0$
	一对重合直线	$I_3 = K_1 = 0$

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