二次曲线和直线的位置关系

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通过二次曲线的不变量与半不变量可以确定二次曲线的形状，但是难以确定其位置，但我们知道，很多二次曲线都有一些性质，诸如对称性、对称中心、渐近线等，我们可以利用它们的这些性质来确定其位置。

二次曲线和直线的位置关系

设有二次曲线$$F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0$$ 其中$a_{11}, a_{22}, a_{12}$不全为零。

设直线$l$经过定点$M(x_0, y_0)^\text{T}$且方向向量是$\vec{v} = (X, Y)^\text{T}$，则其参数方程是$\begin{cases} x = x_0 + tX, \\ y = y_0 + tY, \end{cases} \quad t \in \R$，将该参数方程带入二次曲线方程中，有$$\varphi(X, Y) t^2 + 2( XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0)) t + F(x_0, y_0) = 0.$$ 分类讨论： 当$\varphi(X, Y) \ne 0$时，该方程是一个二次方程，设$\Delta := 4( XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0))^2 - 4\varphi(X, Y)F(x_0, y_0).$

1. 若$\Delta > 0$，方程有两个不等实根，二次曲线与直线交于不同两点；
2. 若$\Delta = 0$，方程有两个相等实根，二次曲线与直线交于重合的两点；
3. 若$\Delta < 0$，方程有两个共轭虚根，二次曲线与直线没有交点。

当$\varphi(X, Y) = 0$时，

1. 若$XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0) \ne 0$，二次曲线与直线交于一点；
2. 若$XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0) = 0$但$F(x_0, y_0) \ne 0$，二次曲线与直线没有交点；
3. 若$XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0) = F(x_0, y_0) = 0$，二次曲线与直线有无穷多个交点。

二次曲线的渐近方向

事实上，上述方程二次项系数$\varphi(X, Y)$有着特殊的意义，当$\varphi(X, Y) = 0$时方程（至多）为一次方程，有可能出现线在曲线上的这一特殊情形，我们将使得$\varphi(X, Y) = 0$的方向$\vec{v} = (X, Y)^\text{T}$称为这个二次曲线的渐近方向，否则称为非渐近方向。

1. $\varphi(X, Y)$是一个二元二次型，当它正（负）定（椭圆型曲线）的时候不可能为零，因此这类曲线没有渐近方向；
2. 双曲线和的所有渐近方向都在一对相交直线上，称这对相交直线为双曲线的渐近线，一对相交直线的渐近方向在自己的四个方向上；
3. 抛物型曲线的渐近方向有一个，是$(-a_{12}, a_{11})^\text{T} = (-a_{22}, a_{12})^\text{T}$。

由上，没有一种曲线的渐近方向覆盖整个空间，因此二次曲线一定有非渐近方向。

二次曲线的切线

设有二次曲线$F(x, y) = 0$以及直线$l$（定点$M(x_0, y_0)^\text{T}$且方向向量是$\vec{v} = (X, Y)^\text{T}$），如果有如下情形之一成立，就称直线$l$是二次曲线$F(x, y) = 0$的切线：

1. 直线与二次曲线交于重合的两点，此时有$\varphi(X, Y) \ne 0, \Delta = 0;$
2. 直线全在二次曲线上，此时有$\varphi(X, Y) = 0, \Delta = 0.$

不管上述哪种情形，总有$\Delta = 0$，进一步可以证明$\Delta = 0$是直线$l$与二次曲线$F(x, y) = 0$相切的充要条件，我们称直线与曲面的交点为切点。

设$M_0 (x_0, y_0)^\text{T}$在二次曲线$F(x, y) = 0$上，当且仅当$F_1(x_0, y_0) F_2(x_0, y_0) \ne 0$时过点$M_0 (x_0, y_0)^\text{T}$有二次曲线$F(x, y) = 0$的唯一切线，它的方程是 $$(x - x_0) F_1 (x_0, y_0) + (y - y_0) F_2 (x_0, y_0) = 0,$$ 或者有如下简记方法 $$a_{11}x_0 x + a_{12} (xy_0 + x_0 y) + a_{22} y_0 y + a_1 (x+x_0) + a_2 (y+y_0) + a_0 = 0.$$

当$F_1(x_0, y_0) = F_2(x_0, y_0) = 0$时过点$M_0 (x_0, y_0)^\text{T}$的任意一条直线都是$F(x, y) = 0$的切线，这时称点$M_0 (x_0, y_0)^\text{T}$是二次曲线$F(x, y) = 0$的的奇点。

过$F(x, y) = 0$外一点$M_1(x_1, y_1)^\text{T}$如果二次曲线的切线存在的话，那么它的方程是 $$\begin{align} & \quad [F_1^2 (x_1, y_1) - a_{11} F(x_1, y_1)] (x - x_1)^2 \\ & + [F_2^2 (x_1, y_1) - a_{22} F(x_1, y_1)] (y - y_1)^2 \\ & + [F_1 (x_1, y_1) F_2 (x_1, y_1) - a_{12} F(x_1, y_1)] (x - x_1)(y - y_1) = 0. \end{align}$$

经过曲线上一点且与该点处的切线相垂直的直线称作曲线在这一点处的法线，过$F(x, y) = 0$上一点$M_0 (x_0, y_0)^\text{T}$的法线方程是 $$\dfrac{(x - x_0)}{F_1 (x_0, y_0)} = \dfrac{(y - y_0)}{F_2 (x_0, y_0)}.$$

二次曲线的弦

如果直线$l$的方向是曲线$F(x, y) = 0$的非渐近方向，且直线和曲线交于两点$A, B$，那么线段$AB$就称作直线$l$交曲线$F(x, y) = 0$所得的弦。

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