二次曲线

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

在解析几何中，二次曲线是指空间中曲线方程是二次式的曲线，它一共有9种。

一般方程

二次曲线的一般方程是

F(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy + 2a_1 x + 2a_2 y + a_0 = 0

其中

a_{11}, a_{22}, a_{12}

不全为零。方程的二次项部分记作

\varphi(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy

，这是一个二元二次型，它所对应的矩阵常记为

{\displaystyle A_1 = (a_{ij})_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}, a_{12} = a_{21}.}

原二次曲线方程可以形式的写作如下矩阵方程

{\displaystyle (x, y, 1) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0}

其中，对称矩阵

A = (a_{ij})_{3 \times 3}

叫做这个曲线方程的矩阵，它是唯一确定的。一次项部分之半常记作这样一个列向量：

\delta = (a_1, a_2)^\text{T}.

因此曲线的矩阵也可写作如下分块矩阵：

A = \begin{pmatrix} A_1 & \delta \\ \delta^\text{T} & a_0 \\ \end{pmatrix}

二次曲线的方程中还有以下记号：

{\displaystyle \begin{align} F_1(x, y) & = a_{11}x + a_{12}y + a_1 \\ F_2(x, y) & = a_{21}x + a_{22}y + a_2 \\ F_3(x, y) & = a_{1} x + a_{2} y + a_0 \\ \varphi(x, y) & = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy \\ \end{align}}

有

{\displaystyle \begin{align} F(x, y) & = x F_1(x, y) + y F_2(x, y) + F_3(x, y) \\ \end{align}}

方程的化简

详见二次曲线的化简。

转轴

对称矩阵一定可以（相似）对角化，且施加的变换是正交变换，矩阵 $A_1$ 经过对角化得到 $A'_1$ 。由二次型理论， $\varphi(x, y)$ 总可化为 $\varphi'(x', y') = a'_{11} x'^2 + a'_{22} y'^2$ 的形式（这一步是消去交叉项的过程，叫做转轴），使得对称矩阵 $T^{-1} A_1 T$ 成立的正交矩阵 $T$ 就称作转轴施加的转轴矩阵，它对应着几何空间中的坐标轴的旋转。

移轴

经过转轴变换，原二次曲线化简为

F'(x', y') = \lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + 2a'_1 x' + 2a'_2 y' + a'_0 = 0.

继续通过配方法并分

\lambda_i, i=1,2

和0的关系的的情况讨论，就可最终化简出曲线方程。

二次曲线的主方向

利用特征方程 $|\lambda E - A_1| = 0$ 求出的特征根也叫做二次曲线的特征根，在实数范围内，该二次方程一定有两个根（因为 $A_1$ 是对称矩阵）， $A_1$ 的对应于 $\lambda_i, i=1,2$ 的特征向量 $\vec{X_i}, i=1,2$ 的方向称为该曲线对应于特征根 $\lambda_i$ 的主方向。

如果有一个零特征根 $\lambda=0$ ，那么就称这个特征根对应的主方向是奇异的，否则就称为非奇异的。二次曲线的特征根不可能全为零，因此该曲线必有一个非奇异主方向。

二次曲线两个特征根所对的主方向总可以化为彼此正交的向量。如果曲线的两个特征根互异，那么该二次曲线的两个主方向已经两两正交了；如果 $\lambda = \lambda_1 = \lambda_2$ ，由于 $T^{-1} (\lambda E) T = \lambda E$ ，和数量矩阵正交相似的矩阵只能是数量矩阵，因此不用转轴操作（这种情况下原曲线方程中已不含交叉项）。

满足方程

\varphi(x, y) = a_{11} x^2 + a_{22} y^2 + 2a_{12} xy = 0

的方向

\vec{v} = (X, Y)^\text{T}

称为这个二次曲线的渐近方向。

二次曲线种类


类型	名称	图像	方程
椭圆型	椭圆		$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
	点	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 0$
	虚椭圆	\	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = -1$
双曲型	双曲线		$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
双曲型	一对相交直线	File:A pair of intersecting lines.png	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$
抛物型	抛物线		$x^2 = 2py$
	一对平行直线	File:A pair of parallel lines.png	$\dfrac{x^2}{a^2} = 1$
	一对虚平行直线	\	$\dfrac{x^2}{a^2} = -1$
	一对重合直线	\	$x^2 = 0$