中文数学 Wiki
Advertisement
欢迎来到解析几何三维空间几何部分!
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识,希望你能收获更多!

解析几何中,二次曲线是指空间中曲线方程是二次式的曲线,它一共有9种。

一般方程

二次曲线的一般方程是

其中不全为零。方程的二次项部分记作,这是一个二元二次型,它所对应的矩阵常记为

原二次曲线方程可以形式的写作如下矩阵方程

其中,对称矩阵叫做这个曲线方程的矩阵,它是唯一确定的。一次项部分之半常记作这样一个列向量: 因此曲线的矩阵也可写作如下分块矩阵

二次曲线的方程中还有以下记号:

方程的化简

详见二次曲线的化简

转轴

对称矩阵一定可以(相似)对角化,且施加的变换是正交变换,矩阵经过对角化得到。由二次型理论,总可化为的形式(这一步是消去交叉项的过程,叫做转轴),使得对称矩阵成立的正交矩阵就称作转轴施加的转轴矩阵,它对应着几何空间中的坐标轴的旋转。

移轴

经过转轴变换,原二次曲线化简为

继续通过配方法并分和0的关系的的情况讨论,就可最终化简出曲线方程。

二次曲线的主方向

利用特征方程求出的特征根也叫做二次曲线的特征根,在实数范围内,该二次方程一定有两个根(因为是对称矩阵),的对应于的特征向量的方向称为该曲线对应于特征根主方向

如果有一个零特征根,那么就称这个特征根对应的主方向是奇异的,否则就称为非奇异的。二次曲线的特征根不可能全为零,因此该曲线必有一个非奇异主方向。

二次曲线两个特征根所对的主方向总可以化为彼此正交的向量。如果曲线的两个特征根互异,那么该二次曲线的两个主方向已经两两正交了;如果,由于,和数量矩阵正交相似的矩阵只能是数量矩阵,因此不用转轴操作(这种情况下原曲线方程中已不含交叉项)。

满足方程

的方向称为这个二次曲线的渐近方向

二次曲线种类

类型 名称 图像 方程
椭圆型 椭圆 Ellipse
\
虚椭圆 \
双曲型 双曲线 Hyperbola
一对相交直线 File:A pair of intersecting lines.png
抛物型 抛物线 Parabola
一对平行直线 File:A pair of parallel lines.png
一对虚平行直线 \
一对重合直线 \

Pascal 定理

这是射影几何中的重要定理,也是 Pappus 定理的推广:任意圆锥曲线的内接六边形的三组对边所在直线的交点(即图中)共线.

证明:由于任何其他的非退化圆锥曲线都可以投影变换成圆,故只需考虑圆即可.

设直线分别与的交点为. 注意到三角形中:

而后注意到从分别引了两条割线,交点恰好为,故而由割线定理得直线是三角形的梅氏线.

←上一节
参数曲线
Advertisement