中文数学 Wiki
Advertisement

这里介绍若干化简二次型的方法,以下总假设

是数域上的二次型。

配方法[]

这是初等代数中配完全平方方法的推广,对于个变元的二次型,我们先找出第一个出现平方形式的变元,然后找到所有含这个变元的交叉项,将其配方,这样一来,剩下的变元中便不在含已配走的第一个变元,这样一直进行下去,直到经过次配方后结束。其依据是平方和公式:

例如,二次型
因此,施加的变数替换为
标准形为

在上例中,我们先配,再配,在配方的完全平方式中,前的系数就是交叉项前的系数之半,如果要配的变量平方项前系数不为,需要提出这个系数,再配方。

如果遇到某个变元出现的所有都为交叉项,那么需要做相应的平方差变数替换,如,先做可逆变数替换

再做可逆变数替换
化为标准形
总施加的可逆变数替换为

矩阵语言[]

设二次型的矩阵是对称的,那么将其做分块,我们总可假设,因为如果但存在一个(即前的系数非零),我们就把交换;如果该二次型只有交叉项,我们就做向上面那样的平方差变数替换,使之出现平方项。

实际上,配方的思路实际上是做如下的同步初等变换

这实际上就是配方法对应的第一次配方,然后对重复上述操作,直到配完次为止。

正交变换[]

我们知道,正交相似化简实际上就是合同化简,而二次型配到标准形也是合同化简的过程,因此在某些情况下可以使用正交化简来做,其优点是求得的可逆变数替换就是使得为对角形的正交矩阵,因此此时便于寻得正交变数替换,配完后变量系数就是特征根。

由于正交化简条件很强,它是一种特殊的合同化简,故其也有局限性:纯计算有时过于复杂,有时求得的特征根甚至不在原二次型所在的数域中(例如,要求在有理数域中化简二次型,但特征根及特征向量出现了无理数),且对于某些规律性强的二次型不易解决。

同步初等变换[]

合同化简所对应的变换是同步初等变换,因此可对矩阵在数域上做同步初等变换化简为对角形,即可找到它的标准形,这是解决二次型对角化的通法,优点在于便于操作,借助计算机很容易完成(实际上,就是 Guass 消元的过程),但人为计算起来容易出错。

实际上,对分块矩阵进行同步初等变换,化成,那么是对角形,而就是经过的可逆变数替换。

Jacobi 方法[]

借助顺序主子式,我们可以给出合同化简是对称矩阵到对角形的 Jacobi 方法,由于该方法要计算出的顺序主子式,不如 Guass 消元效率高,一般不用来计算化简,但其作为一个理论依据为我们了解二次型提供了方便。

对于数域上的元二次型,若顺序主子式不为零,则存在可逆变数替换,使得该二次型有如下 Jacobi 标准形

其中,

上下节[]

Advertisement