这里介绍若干化简二次型的方法,以下总假设

是数域

上的二次型。
配方法[]
这是初等代数中配完全平方方法的推广,对于
个变元的二次型,我们先找出第一个出现平方形式的变元,然后找到所有含这个变元的交叉项,将其配方,这样一来,剩下的变元中便不在含已配走的第一个变元,这样一直进行下去,直到经过
次配方后结束。其依据是平方和公式:

例如,二次型

因此,施加的变数替换为

标准形为
在上例中,我们先配
,再配
,在配方的完全平方式中,
前的系数就是交叉项
前的系数之半,如果要配的变量平方项前系数不为
,需要提出这个系数,再配方。
如果遇到某个变元出现的所有都为交叉项,那么需要做相应的平方差变数替换,如
,先做可逆变数替换


再做可逆变数替换

化为标准形

总施加的可逆变数替换为

矩阵语言[]
设二次型
的矩阵
是对称的,那么将其做分块
,我们总可假设
,因为如果
但存在一个
(即
前的系数非零),我们就把
与
交换;如果该二次型只有交叉项,我们就做向上面那样的平方差变数替换,使之出现平方项。
实际上,配方的思路实际上是做如下的同步初等变换:

这实际上就是配方法对应的第一次配方,然后对

重复上述操作,直到配完

次为止。
正交变换[]
我们知道,正交相似化简实际上就是合同化简,而二次型配到标准形也是合同化简的过程,因此在某些情况下可以使用正交化简来做,其优点是求得的可逆变数替换就是使得
为对角形的正交矩阵
,因此此时便于寻得正交变数替换,配完后变量系数就是特征根。
由于正交化简条件很强,它是一种特殊的合同化简,故其也有局限性:纯计算有时过于复杂,有时求得的特征根甚至不在原二次型所在的数域中(例如,要求在有理数域中化简二次型,但特征根及特征向量出现了无理数),且对于某些规律性强的二次型不易解决。
同步初等变换[]
合同化简所对应的变换是同步初等变换,因此可对矩阵
在数域
上做同步初等变换化简为对角形,即可找到它的标准形,这是解决二次型对角化的通法,优点在于便于操作,借助计算机很容易完成(实际上,就是 Guass 消元的过程),但人为计算起来容易出错。
实际上,对分块矩阵
进行同步初等变换,化成
,那么
是对角形,而
就是经过的可逆变数替换。
Jacobi 方法[]
借助顺序主子式,我们可以给出合同化简是对称矩阵到对角形的 Jacobi 方法,由于该方法要计算出
的顺序主子式,不如 Guass 消元效率高,一般不用来计算化简,但其作为一个理论依据为我们了解二次型提供了方便。
对于数域
上的
元二次型
,若
的
阶顺序主子式不为零,则存在可逆变数替换
,使得该二次型有如下 Jacobi 标准形

其中,
上下节[]