对二次型的研究源于解析几何中的二次曲线以及二次曲面,在线性代数中将其推广到数域
上的向量空间的二次型,它是指如下形式的
元齐次线性函数:
表示[]
定义同上,设
,则上述二次型可写为

若

,称

是(

元)
实二次型,其中,实对称矩阵

称为该实二次型(对应于变量组

)的矩阵,它是唯一确定的(如果不限制

是是对称的,则不是唯一的)。
可逆变数替换[]
假设如上,
是实二次型,如果对于一个可逆矩阵
,以及另一组变数
,就称对
施加一个可逆的变数替换
,使得
,这是初等代数中变量代换的推广。
那么,此时有
,由此可知,同一实二次型在不同的变量组下的矩阵是实合同的。
二次型的标准形[]
如果在数域
上的二次型
能够经过上述可逆的线性替换
变为只含有平方项而不含交叉项的形式
,那对于研究这个二次型会简单一些,因此,我们就会想到对二次型通过施加这样的变换变为如下的二次型

我们就称

是该二次型的
标准形,实际上,施加可逆的变数替换的过程就是对对称矩阵

合同化简为对角形的过程。
标准形的存在唯一性[]
在任意一个数域
上这样的标准形总是存在的(证明从略),而对于其唯一性,是通过
所对应矩阵的秩说明的,这个秩也称为二次型
的秩,记作
,由于合同变换的过程中不改变秩,因此
实际上就是
的标准形中平方项的数量。以下两种情况的继续讨论都是基于
,其中,
实二次型[]
而在实数域上继续考虑
,我们假设
由于正实数在实数域上可以开方,于是做可逆的线性替换
,其中

那么,

我们把

称作(实对称)矩阵

的实合同标准形,它只与

两个常数有关,

也称为实二次型

的
规范形,

称为二次型的
正惯性指数,

称为二次型的
负惯性指数,

称为二次型的
符号差。
对于实二次型,可以将它们按照秩和符号差分类:
- 半正定的,如果
,特别地,正定的,
;
- 半负定的,如果
,特别地,负定的,
;
- 不定的,除以上两种之外的其他情形。
复二次型[]
由于复数在复数域上可以开方,于是做可逆的线性替换
,其中

那么,

我们把

称作矩阵

的复合同标准形,它只与

(矩阵的秩,或二次型的秩)有关,因此,复数域上的二次型有唯一的规范形。
一般形式[]
我们可以将二次型的概念推广到一般的线性空间中,假设域
上的线性空间(不一定是有限维的)
上定义了一个共轭双线性函数
,即
满足:
- 第一对称性:

- 第二 Hermite 性:

这里
表示数
的共轭。定义如下函数

称为

上由

诱导的二次型,
内积可以诱导二次型。
一个二次型
的取值是实数当且仅当诱导它的函数
满足
二次型有著名的极化恒等式:
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}q(x+y)-q(x-y)+{\text{i}}q(x+{\text{i}}y)-{\text{i}}q(x-{\text{i}}y){\big ]}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9046304d4edca0983eff03f81ec715f7fe8dddc6)
在实线性空间中简化为
![{\displaystyle (x,y)={\dfrac {1}{4}}{\big [}q(x+y)-q(x-y){\big ]}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/7151d57741043ac51373db5bd7ab6370563f8fa8)
这个恒等式也可以给出由一个二次型诱导共轭双线性函数的构造方法。
在一般的实内积空间
中,一个连续自伴算子
也可以诱导二次型:

这个二次型还有如下性质:
假设

是实内积空间

上的有界自伴算子,

是其决定的二次型,那么

关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
令
一方面

另一方面,由于

,对任意

,令

,那么
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|Ax\|^{2}&=(Ax,Ax)=(A(\lambda x),y)\\&={\dfrac {1}{4}}[q_{A}(\lambda x+y)-q_{A}(\lambda x-y)]\\&={\dfrac {C_{A}}{4}}(\|\lambda x+y\|^{2}+\|\lambda x-y\|^{2})\\&={\dfrac {C_{A}}{2}}\left(\lambda ^{2}+{\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}\|Ax\|^{2}\right)\\&=C_{A}\|Ax\|.\end{aligned}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9b310ab7d32928fce6ee03b5d338c72823e776dc)
于是

对

关于上式上确界得到

上下节[]
参考资料