二平方和问题

在数论中，二平方和问题是研究一个正整数是否可以表为两个整数的平方和的问题，这种表示的存在性以及解。

内容

设$n \in \mathbb{N}^+$，那么不定方程 $$x^2 + y^2 = n$$ 当且仅当$n$满足下述任意一条时有解

1. $n = d^2 m$，这里$m$没有平方因子且无形如$4k+3$的素因子。
2. 对每个$n$的素因子$p, p \equiv 1 \pmod 4.$

特别地，满足$p \equiv 1 \pmod 4$的素数$p$总可表为二平方和。

在求这类方程的具体解时，可以先将$n$的所有平方因子$d^2$商去，设法找较小的无平方因子数$m$的分解$(x_0, y_0)$，再同时乘上$\pm d$得到所有解$(\pm d x_0, \pm d y_0).$

数论函数

设$f(n)$表示$x^2 + y^2 = n$的整数解数，再考虑它的正整数解数$N(n) = \dfrac{1}{4} f(n)$，可以证明它是积性数论函数，且特殊取值

1. $N(1) = 1.$
2. $\alpha \in \mathbb{N}^+, N(2^\alpha) = 1.$
3. 对于奇素数$p, p \equiv 1 \pmod 4$来说$\alpha \in \mathbb{N}^+, N(p^\alpha) = \alpha + 1.$
4. 对于奇素数$p, p \equiv 3 \pmod 4$来说若$\alpha$是奇数则$N(p^\alpha) = 0$，若$\alpha$是偶数则$N(p^\alpha) = 1.$

进而设$n$有因式分解 $$n = 2^c p_1^{\alpha_1} \cdots p_s^{\alpha_s} q_1^{\beta_1} \cdots q_r^{\beta_r}$$ 这里$c, \alpha_i, \beta_j$都是正整数，$p_i \equiv 1 \pmod 4, q_j \equiv 3 \pmod 4, i = 1,2,\cdots, s, q = 1,2,\cdots,r.$那么当$\beta_i$均为偶数时有 $$N(n) = (a_1 + 1) \cdots (a_s + 1)$$ 其余情形$N(n) = 0.$