二元運算

在集合論中，二元運算（binary operation）是一種涉及一個集合中兩個互相獨立的元素的一種運算。

定義與表示

設 $\mathbf{S}$ 為一集合，函數 $f: \mathbf{S} \times \mathbf{S} \to \mathbf{S}$ 稱其為 $\mathbf{S}$ 上的一個二元運算（binary operation），簡稱二元運算。需要注意的是當自變量和函數值都在集合 $\mathbf{S}$ 中時才可稱為該運算是集合 $\mathbf{S}$ 上的一個二元運算。

二元運算的算符可以用 $\cdot, \star, \circ, \bullet, \oplus, \ominus, \otimes$ 等表示。對二元運算，如果 $x$ 與 $y$ 運算得出 $z$，記作 $x \circ y = z$。

運算律

假設元素 $x, y, z \in \mathbf{S}$，$\circ$ 和 $\star$ 是 $\mathbf{S}$ 上的二元運算。我們定義一些有關二元運算的運算律：

1. $( x \circ y ) \circ z = x \circ ( y \circ z )$，稱運算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上滿足結合律（associative law）；
2. $x \circ y = y \circ x$，稱運算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上滿足交換律（commutative law）；
3. $x \circ x = x$，稱運算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上滿足冪等律（idempotent law）；
4. $z \circ ( x \star y ) = ( z \circ x ) \star ( z \circ y )$，稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 對運算 $\star$ 滿足左分配律，
   $( x \star y ) \circ z = ( x \circ z ) \star ( y \circ z )$，稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 對運算 $\star$ 滿足右分配律，
   上兩條同時滿足稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 對運算 $\star$ 滿足分配律（distributive law）；
5. 若 $(x \ne 0 \and x \circ y = x \circ z ) \Rightarrow y = z$ 稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 滿足左消去律，
   若 $(x \ne 0 \and y \circ x = z \circ x ) \Rightarrow y = z$ 稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 滿足右消去律，
   上兩條同時滿足稱在 $\mathbf{S}$ 上運算 $\circ$ 滿足消去律（cancellative law）；

特殊元素

說明：下列元素 $x, y, z \in \mathbf{S}$，$\circ$ 和 $\star$ 是 $\mathbf{S}$ 上的二元運算。

單位元

單位元又稱么元。

• 若 $\exists e_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, e_l \circ x = x$，稱 $e_l$ 為運算 $\circ$ 的左單位元；
• 若 $\exists e_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ e_r = x$，稱 $e_r$ 為運算 $\circ$ 的右單位元；
• 當 $e_l = e_r$ 時，稱其為運算 $\circ$ 的單位元，可見一個運算有單位元還可表述為該運算滿足交換律且存在左（或右）單位元。

單位元的唯一性定理：

設 $\circ$ 為 $\mathbf{S}$ 上的二元運算，$e_l$ 和 $e_r$ 分別為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的左單位元和右單位元，則$e_l = e_r = e$為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的唯一單位元。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

$\because e_l = e_l \circ e_r = e_r$

$\therefore e_l = e_r$ 將這個單位元記為$e.$假設$e'$也是$\circ$的一個單位元，則有
$e' = e' \circ e = e.$

唯一性得證。

零元

零元的概念給自下面的表述：

• 若 $\exists \theta_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, \theta_l \circ x = \theta$，稱 $\theta_l$ 為運算 $\circ$ 的左零元；
• 若 $\exists \theta_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ \theta_r = \theta$，稱 $\theta_r$ 為運算 $\circ$ 的右零元；
• 當 $\theta_l = \theta_r$ 時，稱其為運算 $\circ$ 的零元，可見一個運算有零元還可表述為該運算滿足交換律且存在左（或右）零元。

零元的唯一性定理：

設 $\circ$ 為 $\mathbf{S}$ 上的二元運算，$\theta_l$ 和 $\theta_r$ 分別為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的左零元和右零元，則$\theta_l = \theta_r = \theta$為 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的唯一零元。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

證明和單位元是類似的：$\because \theta_l = \theta_l \circ \theta_r = \theta_r$

$\therefore \theta_l = \theta_r$ 將這個零元記為$\theta$.假設$\theta'$也是$\circ$的一個零元，則有
$\theta' = \theta' \circ \theta = \theta.$

唯一性得證。

逆元

設 $e$ 是 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的單位元。

• 若 $\exists y_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, y_l \circ x = e$，稱 $y_l$ 為 $x$ 的左逆元；
• 若 $\exists y_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ y_r = e$，稱 $y_r$ 為 $x$ 的右逆元；
• 當 $y_l = y_r = y$ 時，稱$y$為 $x$ 的逆元，可見一個元素關於該運算有逆元還可表述為該運算滿足交換律且該元素存在左（或右）逆元。

逆元的唯一性定理：

設 $\circ$ 為 $\mathbf{S}$ 上可結合的二元運算，$e$ 是 $\mathbf{S}$ 中關於運算 $\circ$ 的單位元，$y_l$ 和 $y_r$ 分別為 $\mathbf{S}$ 中 $x$ 關於運算 $\circ$ 的左逆元和右逆元，則$y_l = y_r = y$為 $\mathbf{S}$ 中 $x$ 關於運算 $\circ$ 的唯一逆元。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裡以顯示/摺疊

由 $y_l \circ x = e$ 和$x \circ y_r = e$ 得

$y_l = y_l \circ e = y_l \circ ( x \circ y_r ) = ( y_l \circ x ) \circ y_r = e \circ y_r = y_r$
將這個逆元記為$y.$ 假設$y'$也是$x$關於$\circ$的一個逆元，則有
$y' = y' \circ e = y' \circ ( x \circ y ) = ( y' \circ x ) \circ y = e \circ y = y$

唯一性得證。