二元运算

在集合论中，二元运算（binary operation）是一种涉及一个集合中两个互相独立的元素的一种运算。

定义与表示

设 $\mathbf{S}$ 为一集合，函数 $f: \mathbf{S} \times \mathbf{S} \to \mathbf{S}$ 称其为 $\mathbf{S}$ 上的一个二元运算（binary operation），简称二元运算。需要注意的是当自变量和函数值都在集合 $\mathbf{S}$ 中时才可称为该运算是集合 $\mathbf{S}$ 上的一个二元运算。

二元运算的算符可以用 $\cdot, \star, \circ, \bullet, \oplus, \ominus, \otimes$ 等表示。对二元运算，如果 $x$ 与 $y$ 运算得出 $z$，记作 $x \circ y = z$。

运算律

假设元素 $x, y, z \in \mathbf{S}$，$\circ$ 和 $\star$ 是 $\mathbf{S}$ 上的二元运算。我们定义一些有关二元运算的运算律：

1. $( x \circ y ) \circ z = x \circ ( y \circ z )$，称运算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上满足结合律（associative law）；
2. $x \circ y = y \circ x$，称运算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上满足交换律（commutative law）；
3. $x \circ x = x$，称运算 $\circ$ 在 $\mathbf{S}$ 上满足幂等律（idempotent law）；
4. $z \circ ( x \star y ) = ( z \circ x ) \star ( z \circ y )$，称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 对运算 $\star$ 满足左分配律，
   $( x \star y ) \circ z = ( x \circ z ) \star ( y \circ z )$，称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 对运算 $\star$ 满足右分配律，
   上两条同时满足称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 对运算 $\star$ 满足分配律（distributive law）；
5. 若 $(x \ne 0 \and x \circ y = x \circ z ) \Rightarrow y = z$ 称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 满足左消去律，
   若 $(x \ne 0 \and y \circ x = z \circ x ) \Rightarrow y = z$ 称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 满足右消去律，
   上两条同时满足称在 $\mathbf{S}$ 上运算 $\circ$ 满足消去律（cancellative law）；

特殊元素

说明：下列元素 $x, y, z \in \mathbf{S}$，$\circ$ 和 $\star$ 是 $\mathbf{S}$ 上的二元运算。

单位元

单位元又称幺元。

• 若 $\exists e_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, e_l \circ x = x$，称 $e_l$ 为运算 $\circ$ 的左单位元；
• 若 $\exists e_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ e_r = x$，称 $e_r$ 为运算 $\circ$ 的右单位元；
• 当 $e_l = e_r$ 时，称其为运算 $\circ$ 的单位元，可见一个运算有单位元还可表述为该运算满足交换律且存在左（或右）单位元。

单位元的唯一性定理：

设 $\circ$ 为 $\mathbf{S}$ 上的二元运算，$e_l$ 和 $e_r$ 分别为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的左单位元和右单位元，则$e_l = e_r = e$为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的唯一单位元。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$\because e_l = e_l \circ e_r = e_r$

$\therefore e_l = e_r$ 将这个单位元记为$e.$假设$e'$也是$\circ$的一个单位元，则有
$e' = e' \circ e = e.$

唯一性得证。

零元

零元的概念给自下面的表述：

• 若 $\exists \theta_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, \theta_l \circ x = \theta$，称 $\theta_l$ 为运算 $\circ$ 的左零元；
• 若 $\exists \theta_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ \theta_r = \theta$，称 $\theta_r$ 为运算 $\circ$ 的右零元；
• 当 $\theta_l = \theta_r$ 时，称其为运算 $\circ$ 的零元，可见一个运算有零元还可表述为该运算满足交换律且存在左（或右）零元。

零元的唯一性定理：

设 $\circ$ 为 $\mathbf{S}$ 上的二元运算，$\theta_l$ 和 $\theta_r$ 分别为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的左零元和右零元，则$\theta_l = \theta_r = \theta$为 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的唯一零元。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

证明和单位元是类似的：$\because \theta_l = \theta_l \circ \theta_r = \theta_r$

$\therefore \theta_l = \theta_r$ 将这个零元记为$\theta$.假设$\theta'$也是$\circ$的一个零元，则有
$\theta' = \theta' \circ \theta = \theta.$

唯一性得证。

逆元

设 $e$ 是 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的单位元。

• 若 $\exists y_l \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, y_l \circ x = e$，称 $y_l$ 为 $x$ 的左逆元；
• 若 $\exists y_r \in \mathbf{S}, \forall x \in \mathbf{S}, x \circ y_r = e$，称 $y_r$ 为 $x$ 的右逆元；
• 当 $y_l = y_r = y$ 时，称$y$为 $x$ 的逆元，可见一个元素关于该运算有逆元还可表述为该运算满足交换律且该元素存在左（或右）逆元。

逆元的唯一性定理：

设 $\circ$ 为 $\mathbf{S}$ 上可结合的二元运算，$e$ 是 $\mathbf{S}$ 中关于运算 $\circ$ 的单位元，$y_l$ 和 $y_r$ 分别为 $\mathbf{S}$ 中 $x$ 关于运算 $\circ$ 的左逆元和右逆元，则$y_l = y_r = y$为 $\mathbf{S}$ 中 $x$ 关于运算 $\circ$ 的唯一逆元。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

由 $y_l \circ x = e$ 和$x \circ y_r = e$ 得

$y_l = y_l \circ e = y_l \circ ( x \circ y_r ) = ( y_l \circ x ) \circ y_r = e \circ y_r = y_r$
将这个逆元记为$y.$ 假设$y'$也是$x$关于$\circ$的一个逆元，则有
$y' = y' \circ e = y' \circ ( x \circ y ) = ( y' \circ x ) \circ y = e \circ y = y$

唯一性得证。