二元关系

二元关系（binary relation）是集合论中同一集合中两个元素之间的关系。

定义及表示

如果一个集合满足以下条件之一：

1. 为空集（$\varnothing$）；
2. 非空集合且元素都是二元有序对，

则称该集合为一个二元关系（或简称关系），记作$R$。对于$R$，如果$(x,y) \in R$，则记作$xRy$，意思就是$x$和$y$有$R$关系（注意顺序），若$(x,y) \notin R$，则记作$x \!\! \not{R} y.$

关系可以用集合表示，如集合$\{1,2\}$上的关系$R = \{ (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \}$，这是一个全关系。

将$A$上的二元关系看作集合，将所有的二元关系收集起来，按照集合间的包含作为偏序，会形成一个偏序集，进一步它还是格。

几种特殊的二元关系

1. 空关系：$\varnothing$，空关系就是二元关系定义中的第一种情况；
2. 全关系：$E_A \overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=} \{ (x,y) | x \in A, y \in A \} = A \times A$；
3. 恒等关系：$I_A \overset{\underset{\mathrm{d}}{}}{=} \{ (x,x) | x \in A \}$。
4. 逆关系：若关系$R = \{ (x,y) | x \in A, y \in B \}$，则可定义它的逆关系$R^{-1} = \{ (y,x) | x \in A, y \in B \}$。
   特别地，全关系和恒等关系的逆都是自身。
5. 关系积（relational product）：假设$R_1,R_2$是$A$上的二元关系，那么$R_1 \circ R_2$由下式定义：$(a, b) \in R_1 \circ R_2 \iff \exists c \in A, (a, c) \in R_1, (c, b) \in R_2.$同样可以递归定义$R_1 \circ R_2 \circ \cdots \circ R_n := (R_1 \circ R_2 \circ \cdots \circ R_{n-1}) \circ R_n.$

关系的性质

说明：下列关系$R$均定义在集合$A$上。

1. 自反性：称$R$是自反的，如果$\forall x \in A, xRx$，即$I_A \subseteq R$。
   自反性要求必须包括全部由$x \in A$组成的元素相同的有序对。例如，整数上的整除关系是自反的，实数上的小于等于关系也是自反的，因为任意一个实数总小于等于自身，但小于关系却不是，因为没有一个有限实数小于自身。
   同样，集合的包含关系是自反的，但真包含关系却不是自反的。
   特别的，全关系和恒等关系都是自反的。
   
   
2. 反自反性：称$R$是反自反的，如果$(x,x) \notin R$。
   反自反性与自反性只容许有一个成立，或都不成立。
   例如实数上的小于关系是反自反的，集合上的真包含也是反自反的。
   
   
3. 对称性：称$R$是对称的，如果$\forall x \forall y \in A, xRy \Rightarrow yRx$。
   也就是说，$R$上若有$(x,y)$，则必有$(y,x)$。
   例如，空关系、全关系和恒等关系都是对称的，数和集合上的相等与不等关系也是对称的。
   
   
4. 反对称性：称$R$是反对称的，如果$\forall x \forall y \in A, ( xRy \land yRx ) \Rightarrow x = y$。
   也就是说，$x\ne y$时$R$上若有$(x,y)$，则必没有$(y,x)$。
   例如，实数的小于等于关系是反对称的，集合的包含关系也是反对称的。
   
   
5. 传递性：称$R$是传递的，如果$\forall x, y, z \in A, ( xRy \land yRz) \Rightarrow xRz$
   显然，整数上的整除关系，实数上的小于等于、小于、等于关系是传递的，集合上的包含，真包含关系也是传递的。
   
   

一些推论：

1. 集合上的一个关系，如果它是对称且可传递，那它一定自反；
2. 一个关系和它的逆关系具有相同的性质；
3. 若两个关系具有相同的性质，那它们的交关系也就有相同的性质。