事件独立性

在概率论中，为了度量事件之间关联程度，我们要研究事件的独立性，通俗地讲，如果非空事件$B$的发生与否不影响事件$A$的发生，我们就说事件$A$是独立于事件$B$的。前期概率论的一些结论大多是在事件独立性下获得的，此外，事件独立性在可靠性理论中有重要应用。

公理化定义

在概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$中，设$A, B \in \mathit{\Omega}$，如果有下式成立 $$P(AB) = P(A) P(B)$$ 我们就说，事件$A, B$相互（统计）独立。显然，必然事件和不可能事件独立于任何事件。

实际上，如果$B \ne \varnothing$，那么$P(A|B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)} = P(A)$，这就是“$B$的发生与否不影响事件$A$的发生”的含义。

等价开化

1. $A$与$B$相互独立，当且仅当$A$与$\overline{B}$或$\overline{A}$与$B$或$\overline{A}$与$\overline{B}$是相互独立的；
2. $A$与$B$相互独立，当且仅当$P(A|B) = P(A|\overline{B})$，当且仅当$P(A|B) + P(\overline{A}|\overline{B}) = 1.$

三个事件的独立性

我们可以定义三个事件甚至更多事件的相互独立性，在概率空间$(\mathit{\Omega}, \mathcal{F}, P)$中，设$A_1, A_2, A_3 \in \mathit{\Omega}$，如果有下式成立 $$\begin{cases} P(A_1 A_2) = P(A_1) P(A_2) \\ P(A_1 A_3) = P(A_1) P(A_3) \\ P(A_2 A_3) = P(A_2) P(A_3) \\ P(A_1 A_2 A_3) = P(A_1) P(A_2) P(A_3) \end{cases}$$ 我们就说，事件$A_1, A_2, A_3$相互独立，只满足前三个条件时称事件$A_1, A_2, A_3$两两相互独立。

注意仅有前三个等式成立或仅有第四个等式成立是推不出三个事件相互独立的，可以从 Bernstein 反例中得到验证。

多个事件的独立性

设有$n$个事件$A_1, A_2 ,\cdots, A_n$，对于所有可能的组合$1 \leqslant i_1 < i_2 < \cdots \leqslant n$，有以下$2^n - n - 1$个等式成立 $$\begin{cases} P(A_{i_1} A_{i_2}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \\ P(A_{i_1} A_{i_2} A_{i_3}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) P(A_{i_3}) \\ \cdots \\ P(A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_n}) = P(A_{i_1}) P(A_{i_2}) \cdots P(A_{i_n}) \\ \end{cases}$$ 它等价于以下$2^n$个等式成立 $$P(\hat{A_1} \hat{A_2} \cdots \hat{A_n}) = P(\hat{A_1}) P(\hat{A_2}) \cdots P(\hat{A_n})$$ 其中$\hat{A_i}$可以取$A_i$或$\overline{A_i}$两个值。

应用

可以用事件的独立性来简化计算相互独立事件$A_1, A_2 ,\cdots, A_n$中至少有一个事件发生的概率。 $$P \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) = 1 - \prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})$$

上下节

• 上一节：条件概率
• 下一节：独立重复试验

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.