事件序列

在概率论的公理化定义中，为了像数学分析那样研究概率的极限以及连续性问题，我们需要引入像数列那样的事件序列的概念。

事件序列的极限

设有可列个事件$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$满足 $$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset \cdots$$ 我们就说事件序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$是单调递增的，并称$\bigcup_{i=1}^\infty A_i$为该事件序列的极限，记作$A_n \uparrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i.$

同样，如果事件序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$满足 $$A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots$$ 我们就说事件序列$\{ A_n \}_{n=1}^\infty$是单调递减的，并称$\bigcap_{i=1}^\infty A_i$为该事件序列的极限，记作$A_n \downarrow \bigcap_{i=1}^\infty A_i.$

概率的连续性

1. 如果$A_n \uparrow \bigcup_{i=1}^\infty A_i$，则$\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P \left( \bigcup_{i=1}^\infty A_i \right);$
2. 如果$A_n \downarrow \bigcap_{i=1}^\infty A_i$，则$\lim_{n \to \infty} P(A_n) = P \left( \bigcap_{i=1}^\infty A_i \right).$

这说明，极限运算可以和概率函数运算交换。尽管这件事情看起来很简单，但在数学上证明它却不是那么容易。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.