乘積範疇

乘積範疇是範疇論中的一個概念，它是集合間笛卡爾積、群的直積等若干概念的推廣。

定義

範疇論的定義是如下敘述的：
設$\mathsf{C}$是一個範疇，$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，我們定義這兩個對象之間的乘積$A \times B = \{ P, \varphi =: \pi_A \times \pi_B \}$，也記作$\begin{matrix} A \prod B \end{matrix}$：

對象$P \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$且滿足$\pi_A: P \to A, \pi_B: P \to B$使得對任意的$X \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，以及任意的態射$\varphi_A: X \to A, \forall \varphi_B: X \to B$必存在唯一的態射$\varphi: X \to P$使得$$\pi_A \circ \varphi = \varphi_A, \pi_B \circ \varphi = \varphi_B.$$即下圖可換

此時我們有時稱對象$P = A \times B$是$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$的乘積（product），可以將它的概念推廣到有限個對象的場景。

余積

範疇上的余積是乘積的余概念，它用範疇論的語言定義為
設$\mathsf{C}$是一個範疇，$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，我們定義這兩個對象之間的余積$\begin{matrix} A \coprod B \end{matrix} = \{ S, \begin{matrix} \iota_A \coprod \iota_B \end{matrix} \}$：

對象$S \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$且滿足$\iota_A: A \to S, \iota_B: B \to S$使得對任意的$Y \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，以及任意的態射$\varphi_A: A \to Y, \forall \varphi_B: B \to Y$必存在唯一的態射$\psi: S \to Y$使得$\psi \circ \iota_A = \varphi_A, \psi \circ \iota_B = \varphi_B.$

此時我們有時稱對象$S = \begin{matrix} A \coprod B \end{matrix}$是$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$的余積（coproduct）。