乘积范畴

乘积范畴是范畴论中的一个概念，它是集合间笛卡尔积、群的直积等若干概念的推广。

定义

范畴论的定义是如下叙述的：
设$\mathsf{C}$是一个范畴，$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，我们定义这两个对象之间的乘积$A \times B = \{ P, \varphi =: \pi_A \times \pi_B \}$，也记作$\begin{matrix} A \prod B \end{matrix}$：

对象$P \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$且满足$\pi_A: P \to A, \pi_B: P \to B$使得对任意的$X \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，以及任意的态射$\varphi_A: X \to A, \forall \varphi_B: X \to B$必存在唯一的态射$\varphi: X \to P$使得$$\pi_A \circ \varphi = \varphi_A, \pi_B \circ \varphi = \varphi_B.$$即下图可换

此时我们有时称对象$P = A \times B$是$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$的乘积（product），可以将它的概念推广到有限个对象的场景。

余积

范畴上的余积是乘积的余概念，它用范畴论的语言定义为
设$\mathsf{C}$是一个范畴，$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，我们定义这两个对象之间的余积$\begin{matrix} A \coprod B \end{matrix} = \{ S, \begin{matrix} \iota_A \coprod \iota_B \end{matrix} \}$：

对象$S \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$且满足$\iota_A: A \to S, \iota_B: B \to S$使得对任意的$Y \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$，以及任意的态射$\varphi_A: A \to Y, \forall \varphi_B: B \to Y$必存在唯一的态射$\psi: S \to Y$使得$\psi \circ \iota_A = \varphi_A, \psi \circ \iota_B = \varphi_B.$

此时我们有时称对象$S = \begin{matrix} A \coprod B \end{matrix}$是$A, B \in \operatorname{Obj} \mathsf{C}$的余积（coproduct）。