乘積拓撲

乘積拓撲（product topology）是用已知的拓撲空間構造更大的拓撲空間的一個手段。

定義

假設$(X_i, T_i)$是一些拓撲空間，$i = 1,2,\cdots,n$，在它們的 Cartesian 積$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$上規定由拓撲基$$\mathcal{B} = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n: U_i \in T_i, i = 1, 2, \cdots, n \}$$生成的拓撲，這個拓撲稱為乘積拓撲，裝備了這樣的拓撲的拓撲空間稱為乘積空間（product space），在不引起混淆的情況下依然記作$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$，或$\prod_{i=1}^n X_i.$

特徵性質

假設$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$是乘積空間，那麼對任意拓撲空間$Y$，映射$f: Y \to X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$連續當且僅當投射$\pi_i \circ f: Y \to X_i$連續，$i = 1, 2, \cdots, n.$這裏$\pi_i: X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \to X_i$是典則映射（canonical projection）：$\pi_i(U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n) = U_i.$且滿足這個性質的拓撲僅有乘積拓撲。

推論：典則映射$\pi_i$是連續的開映射（映開集為開集）。

其它性質

以下均假設$X_i, Y$是拓撲空間。

1. 乘積運算在同胚的意義下是可結合的，即$(X_1 \times X_2) \times X_3$同胚於$X_1 \times (X_2 \times X_3)$
2. 映射$$\begin{align} f_i: X_i & \to X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n, \\ x & \mapsto (x_1, \cdots, x_{i-1}, x, x_{i+1}, \cdots, x_n) \end{align}$$是拓撲嵌入。
3. $\overline{U \times V} = \overline{U} \times \overline{V}.$
4. $\text{Int}(U \times V) = \text{Int}(U) \times \text{Int}(V).$
5. Hausdorff 空間的乘積空間是 Hausdorff 的。
6. 第一可數空間的乘積空間是第一可數空間。
7. 第二可數空間的乘積空間是第二可數空間。
8. 可分空間的乘積空間是可分空間。
9. 假設$\mathcal{B}_i$是$X_i$的拓撲基，那麼$\mathcal{B} = \{ B_1 \times B_2 \times \cdots \times B_n: B_i \in \mathcal{B} \}$是乘積空間$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$的拓撲基。
10. 假設$S_i$是$X_i$的子空間，那麼$S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$上的乘積拓撲等於它在$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$上的子空間拓撲。

無窮乘積

有兩種定義無窮乘積的手段，它們會導出不同的拓撲。假設$\{ (X_\alpha, T_\alpha) \}_{\alpha \in A}$是一族拓撲空間，令$X = \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是這些空間作為集合的 Cartesian 積。

第一種方式是：定義由下述集合 $$\mathcal{B}_0 = \left\{ \prod_{\alpha \in A} U_\alpha: U_\alpha \in T_\alpha \right\}$$ 構成的拓撲基生成的拓撲，稱為箱拓撲（box topology）。但是這個拓撲太細了，在很多問題中不具有很好的性質，我們一般採用下面的定義方式。

第二種方式是：定義由如下集合 $$\mathcal{B} = \left\{ \prod_{\alpha \in A} U_\alpha: U_\alpha \in T_\alpha; U_\alpha = X_\alpha \text{ for all but finitely many } \alpha \right\}$$ 構成的拓撲基生成的拓撲，這稱為乘積拓撲。它具有如下特徵性質：

假設$\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$是一族拓撲空間，$\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是乘積拓撲，對任意的拓撲空間$Y$，映射$f: Y \to \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是連續的當且僅當每一個投影$\pi_\alpha \circ f$連續，且乘積拓撲是滿足這個性質的唯一拓撲。

當指標集$A$是有限集時，上述兩種定義等價，均為我們最開始定義的乘積拓撲。

參考資料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《點集拓撲講義（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.