乘积拓扑

乘积拓扑（product topology）是用已知的拓扑空间构造更大的拓扑空间的一个手段。

定义

假设$(X_i, T_i)$是一些拓扑空间，$i = 1,2,\cdots,n$，在它们的 Cartesian 积$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$上规定由拓扑基

$$\mathcal{B} = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n: U_i \in T_i, i = 1, 2, \cdots, n \}$$

生成的拓扑，这个拓扑称为乘积拓扑，装备了这样的拓扑的拓扑空间称为乘积空间（product space），在不引起混淆的情况下依然记作$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$，或$\prod_{i=1}^n X_i.$

特征性质

假设$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$是乘积空间，那么对任意拓扑空间$Y$，映射$f: Y \to X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$连续当且仅当投射$\pi_i \circ f: Y \to X_i$连续，$i = 1, 2, \cdots, n.$这里$\pi_i: X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n \to X_i$是典则映射（canonical projection）：$\pi_i(U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n) = U_i.$且满足这个性质的拓扑仅有乘积拓扑。

推论：典则映射$\pi_i$是连续的开映射（映开集为开集）。

其它性质

以下均假设$X_i, Y$是拓扑空间。

1. 乘积运算在同胚的意义下是可结合的，即$(X_1 \times X_2) \times X_3$同胚于$X_1 \times (X_2 \times X_3)$
2. 映射
   $$\begin{align} f_i: X_i & \to X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n, \\ x & \mapsto (x_1, \cdots, x_{i-1}, x, x_{i+1}, \cdots, x_n) \end{align}$$
   是拓扑嵌入。
3. $\overline{U \times V} = \overline{U} \times \overline{V}.$
4. $\text{Int}(U \times V) = \text{Int}(U) \times \text{Int}(V).$
5. Hausdorff 空间的乘积空间是 Hausdorff 的。
6. 第一可数空间的乘积空间是第一可数空间。
7. 第二可数空间的乘积空间是第二可数空间。
8. 可分空间的乘积空间是可分空间。
9. 假设$\mathcal{B}_i$是$X_i$的拓扑基，那么$\mathcal{B} = \{ B_1 \times B_2 \times \cdots \times B_n: B_i \in \mathcal{B} \}$是乘积空间$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$的拓扑基。
10. 假设$S_i$是$X_i$的子空间，那么$S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n$上的乘积拓扑等于它在$X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n$上的子空间拓扑。

无穷乘积

有两种定义无穷乘积的手段，它们会导出不同的拓扑。假设$\{ (X_\alpha, T_\alpha) \}_{\alpha \in A}$是一族拓扑空间，令$X = \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是这些空间作为集合的 Cartesian 积。

第一种方式是：定义由下述集合

$$\mathcal{B}_0 = \left\{ \prod_{\alpha \in A} U_\alpha: U_\alpha \in T_\alpha \right\}$$

构成的拓扑基生成的拓扑，称为箱拓扑（box topology）。但是这个拓扑太细了，在很多问题中不具有很好的性质，我们一般采用下面的定义方式。

第二种方式是：定义由如下集合

$$\mathcal{B} = \left\{ \prod_{\alpha \in A} U_\alpha: U_\alpha \in T_\alpha; U_\alpha = X_\alpha \text{ for all but finitely many } \alpha \right\}$$

构成的拓扑基生成的拓扑，这称为乘积拓扑。它具有如下特征性质：

假设$\{ X_\alpha \}_{\alpha \in A}$是一族拓扑空间，$\prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是乘积拓扑，对任意的拓扑空间$Y$，映射$f: Y \to \prod_{\alpha \in A} X_\alpha$是连续的当且仅当每一个投影$\pi_\alpha \circ f$连续，且乘积拓扑是满足这个性质的唯一拓扑。

当指标集$A$是有限集时，上述两种定义等价，均为我们最开始定义的乘积拓扑。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.