乘法公式

乘法公式是一種與乘法有關的數學公式，能加快運算速度。

分配律

主條目：分配律

分配律，與交換律、結合律並列為小學常用公式。

• $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

和平方

和平方，解釋為和的平方公式。

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

使用分配律的算法是：

• $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$

多項式的算法：

• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

請注意，$(a+b)^2\ne a^2+b^2$

例子

例如一個邊長為101公分的正方形：

• $101^2=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10000+200+1=10201$

差平方

差平方，解釋為差的平方公式。

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

使用和平方的算法是：

• $(a-b)^2=[a+(-b)]^2=a^2+2\times a\times(-b)+(-b)^2=a^2+(-2ab)+b^2=a^2-2ab+b^2$

多項式的算法：

• $(a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca$

請注意：

1. $(a-b)^2\ne a^2-b^2$
2. $(a-b)^2\ne a^2-2ab-b^2$
3. $(a-b)^2=(b-a)^2$，亦指(a-b)^偶數=(b-a)^偶數
4. $(a-b)^1\ne(b-a)^1$，亦指(a-b)^奇數≠(b-a)^奇數

例子

例如一個邊長為99公分的正方形：

• $99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$
• $1296-22\times36+121$

$=36^2-2\times11\times36+11^2$ $=(36-11)^2=25^2=625$

• $1296-792-360+121+110+36-11$

$1296-792-360+121+110+25$ $=36^2-2*36*11-2*36*5+11^2+2*11*5+5^2$ $=(36-11-5)(36-11-5)$ $=400$

平方差

平方差，解釋為平方的差公式。

• $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• $a\times b=[(a+b)\div2+ c][(a+b)\div2- c]=[(a+b)\div2]^2-c^2$，但此公式必須要$(a+b)\div2$是整數才能成立。

例子

• $(2+1)(2-1)=2^2-1^2$
• $10.6\times 9.4=[(10.6+9.4)\div2+0.4][(10.6+9.4)\div2-0.4]=10^2-0.4^2=99.84$

特殊公式

1. • $1^2+1=2^2-2$
   • $2^2+2=3^2-3$
   • $3^2+3=4^2-4$
   • $99^2+99=100^2-100$
   • 題型：$1123^2+1123+2248+1125=a^2$，求a=？
   • $1=1^2$
   • $1+2+1=2^2$
   • $1+2+3+2+1=3^2$
   • 題型：$12+13+...+88+89+88+...+12+11=$？
   • $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$
   • $(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$

參考文獻

書目

• 《國中數學2上》，南一出版

外部連結

• 維基筆記-乘法公式
• 中文世界大典-乘法公式
• 中文維基教科書-乘法公式