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數學分析是近代分析數學的基礎，現行的理論源於近代 Cauchy, Riemann, Weierstrass 等人建立的極限論、積分和級數理論基礎，該學科主要研究實變量函數（尤其是連續實函數）的微分積分性質，以及函數項級數的性質，多元函數主要關注各種物理中常用的微分定理和積分公式。後繼課程有實分析以及複分析等等。

學科編碼：11034，隸屬於數學分析

主要
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實數理論、數列、極限、導數和微分、不定積分和定積分、反常積分、數項級數和函數項級數（一致收斂）、偏導數、多元積分

實

變函數論 real analysis

\lim_{n \to \infty} \int_E f_n(x) \mathrm{d}x

實變函數論又稱實分析，該學科主要研究 Lebesgue 等人為彌補 Riemann 積分的不而建立的積分理論，關注的函數是一種比連續函數性質稍差的稱之為可測函數的函數，主要研究極限和其它運算（特別是積分）交換次序的相關問題，著名結果包括 Fatou 引理和控制收斂定理等。先修課程為數學分析。

學科編碼：1104110，隸屬於函數論

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Lebesgue 測度、可測函數、Лузин 定理、Lebesgue 積分、Levi 積分定理、Fatou 引理、控制收斂定理、Fubini 定理、有界變差函數、Lebesgue 微分定理、絕對連續函數、Lp 空間

單

複變函數論 complex analysis

\int_C \dfrac{\mathrm{d}z}{(z - a)^n}

單複變函數論主要研究自變量為單個複數的函數的性質，因其關注的函數多是性質較好的解析函數，故該學科又稱解析函數論，該學科的立足點可以從解析函數的微分理論、積分理論以及級數理論三方面進行，解析函數的微分理論引出所謂 Cauchy-Riemann 方程，而積分更像是二元復值實函數的第二類曲線積分，有著名的 Cauchy 積分公式，級數理論主要由 Weierstrass 建立，有著名的 Laurent 展開，此外對於複變函數的研究還有幾何性質方面，由 Riemann 建立。先修課程為數學分析，後繼課程有多複變函數論等。

學科編碼：1104120，隸屬於函數論

主要
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複平面、複變函數、複變函數的積分、複數項級數、解析函數的泰勒展式、解析函數的洛朗展式、留數、解析開拓

函

數逼近論 function approximation theory

p(x) = \sum_{i=1}^n y_i l_i(x_i)

函數逼近論主要研究函數的級數展開、漸近展開和數值計算，主要結果有插值問題（特別是多項式插值用於擬合函數或進行數值計算）、數值積分（著名結果有 Newton-Cotes 公式和 Romberg 算法）、函數逼近（最佳一致逼近和最佳平方逼近問題）和漸近展開理論。先修課程為數學分析。

學科編碼：1104140，隸屬於函數論

主要
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Lagrange 插值、Newton 插值、最佳一致逼近、最佳平方逼近、正交多項式、數值積分、Newton-Cotes 求積公式、Romberg 算法

特

殊函數論 special function theory

\text{Si}(x) = \int_0^x \dfrac{\sin t}{t} \mathrm{d}t

特殊函數論主要研究在數學和物理中應用廣泛的各種特殊函數（大部分是超越函數），這些函數有的藉助級數定義，有的是某些特定問題的抽象化（如正弦積分函數等），有的是高階（特別是二階）常微分方程的解（這類函數眾多），特殊函數論的眾多公式經過眾多數學物理學家的研究得到。系統學習特殊函數論的先修課程為數學分析，複變函數以及常微分方程等。

學科編碼：1104170，隸屬於函數論

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Bernoulli 多項式、Bessel 函數、超幾何函數、Chebyshev 多項式、Legendre 多項式

常

微分方程 ordinary differential equation

M \mathrm{d}x + N \mathrm{d}y = 0

常微分方程簡稱 ODE, 含有未知的一元函數和未知函數各階導數的方程稱為常微分方程，對常微分方程的研究主要有定量研究（直接求解，這類方程十分稀少）、定性研究（主要研究方程的奇點和穩定性問題）以及數值方法（用數值方法求出特定初值問題對應的解）。

學科編碼：11044，隸屬於常微分方程

主要
頁面

一階常微分方程、線性常微分方程、高階常微分方程、常微分方程組

偏

微分方程 partial differential equation

u_{t}=\Delta u+f(u)

偏微分方程簡稱 PDE, 含有未知的多元函數和未知函數各階偏導數的方程稱為偏微分方程，因其背景很多方程都源於物理學，故又稱數學物理方程。二階偏微分方程理論主要研究橢圓的、雙曲的以及拋物的偏微分方程，尤其是解的正則性問題。

學科編碼：11047，隸屬於偏微分方程

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Laplace 方程、Poisson 方程、熱方程、波方程、二階橢圓型方程、Schrödinger 方程

泛

函分析 functional analysis

f(A)=\int _{\mathbb {R} }f(\lambda )\mathrm {d} P_{\lambda }

泛函分析是從代數和拓撲結構的角度研究實變量的函數的學科，屬於軟分析（實變函數屬於硬分析）。主要主題有線性算子理論、變分法、拓撲線性空間、希爾伯特空間、巴拿赫空間、算子代數以及測度與積分理論等等。

學科編碼：11057，隸屬於泛函分析

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Banach 空間、Hilbert 空間、線性算子、緊算子、Hahn-Banach 定理、譜、共軛空間、弱拓撲、非線性映射、Banach 不動點定理、Leray-Schauder 度、半序 Banach 空間、變分

線

性代數 Linear Algebra

\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ & 1 \end{pmatrix}^n

線性代數是研究由通常的二維或三維向量空間抽象出來的代數結構——有限維線性空間的學科，為此引入了矩陣、行列式和向量組的相關理論，在研究線性空間的變換性質（映射性質）的過程中又引入了特徵子空間（與之關聯的概念是特徵值和特徵向量）的理論。

學科編碼：1102110，隸屬於代數學

主要
頁面

矩陣代數、行列式、向量組、線性方程組、線性空間、內積、線性變換、特徵值、二次型、Jordan 標準形

群

論 group theory

G/\ker \varphi \cong \text{im } \varphi

群論是研究一種基本的代數結構——群的學科，作為一門抽象化的數學學科，群論側重於不同群結構之間的聯繫和群的分類以及存在性的討論，前者有群同態的觀點，後者引出了群分類問題。近年來對比群性質稍微差一些的代數結構——半群的研究十分熱門，半群論也有成為一門新學科的趨勢。

學科編碼：1102115，隸屬於代數學

主要
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群、半群、群同態、交換群、循環群、群作用、正規子群、商群、置換群、導群、Sylow 定理、有限交換群

環

論 ring theory

\dfrac{\R[x]}{(x^2+1)} \cong \C

環論是研究比群結構較為豐富的一種代數結構——環的學科，對環的研究有像群那樣的性質，但環論主要側重於兩種運算誘導的新性質，如環是否是有限生成的，是否是可因式分解的等等。

學科編碼：1102140，隸屬於代數學

主要
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環、多項式環、環同態、理想、商環、除環、諾特環、Euclid 環、鏈條件

模

論 module theory

F^R(A) \cong \Z^{\oplus A}

模論是研究環作用在一個集合上形成的代數結構——模的學科，一個模的特例是線性空間，在模的研究中我們注重模的作用行為和生成行為，例如正合列和諾特模

學科編碼：1102145，隸屬於代數學

主要
頁面

模、諾特模、模的正合列、商模、扭模、生成子模

幾

何學基礎 basis of geometry

a^2+b^2=c^2

幾何學基礎是研究點、線之間基本數量和位置關係的幾何學科，不必限於歐氏空間，位置關係以相交關係為主。與三角形和三角函數有關的三角學也歸為此類。

學科編碼：1102710，隸屬於幾何學

主要
頁面

點、直線、三角形、正方形、線段、勾股定理、圓

歐

氏幾何學 Euclidean geometry

\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}

歐氏幾何學在歐幾里得公設下研究的幾何學，是我們現實生活中的幾何問題的抽象化，主要研究方法是向量法，這等價於笛卡爾給出的坐標法。

學科編碼：1102715，隸屬於幾何學

主要
頁面

向量、仿射標架、直線、平面、線面度量性質、拋物線、橢圓、雙曲線、平面直角坐標系、二次曲線、空間直角坐標系、二次曲面、漸近線、漸屈線、參數曲線

微

分幾何學 differential geometry

\int _{D}K\mathrm {d} A+\int _{\partial D}k_{g}\mathrm {d} s+\sum \alpha _{i}=2\pi

微分幾何學是用微積分方法研究建立在直角坐標系基礎上的幾何學，研究的對象是一類歐氏空間中連續甚至光滑的點集，被稱為微分流形，其結果十分豐富且是當下研究的重要數學方向之一。

學科編碼：1102745，隸屬於幾何學

主要
頁面

參數曲線、弧長參數、曲線論基本定理、曲率、Gauss 曲率、曲面的第一基本形式、測地線、測地曲率、Liouville 定理、測地平行坐標系、Gauss-Bonnet 公式

初

等數論 elementary number theory

x^n + y^n = z^n

初等數論是研究整數特別是自然數的個別性質的數學學科，它的入門門檻較低，不需要什麼先修知識，是數論的基礎學科。主要包括同餘理論、剩餘理論（特別是二次剩餘用於解決二次同餘問題）和一些不定方程，最著名的問題是 Fermat 方程（即費馬大定理），但其解決方法並不初等。

學科編碼：1101710，隸屬於數論

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整除、同餘、Euler-Fermat 定理、離散對數、原根、數論函數、不定方程、素數分布

點

集拓撲學 point set topology

{\text{Int}}(X\setminus A)=X\setminus {\overline {A}}

點集拓撲學是研究非空集合系上擁有「開集」結構的學科，是傳統歐幾里得空間按照實數系基本定理的抽象化，點集拓撲是拓撲學的基礎，通過公理化的思想以及邏輯演繹來得到各種比歐幾里得空間性質差的空間之間的關係。

學科編碼：1103110，隸屬於拓撲學

主要
頁面

拓撲空間、拓撲公理、可數公理、可分公理、分離公理、連通性質、緊性、連續映射、同胚、子拓撲、商拓撲、乘積拓撲

數

值代數 numerical algebra

PA = LU

數值代數是用數值計算的方法求解線性代數中的相關問題，如矩陣特徵值、矩陣三角化、線性方程組求解、矩陣分解以及有限維空間中的最佳逼近問題等問題的學科，一般而言這裡我們研究的矩陣都是大型矩陣且很有可能是稀疏的（例如通過遞推公式給出的矩陣結構可能是三對角或五對角形式，這在用數值方法求解微分方程時常會出現），且不能是病態矩陣。

學科編碼：1106150，隸屬於計算數學

主要
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LU 分解、冪法、反冪法、共軛梯度法、Gauss-Seidel 方法、投影方法、Arnoldi 算法、矩陣範數、Cholesky 分解

概

率分布 probability distribution